Bakterienvermehrung mit Grenze < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Ein Bakterium ist in einem See mit der Fläche a. Das Bakterium vermehrt sich exponentiell. Gib die Funktionsgleichung an. |
Zunächst ist die Zunahme der Anzahl der bakterien ja exponentiell, aber wenn ungefähr die Hälfte der Fläche durch die Bakterien bedeckt ist, ist die Zunahme nicht mehr exponentiell, ich glaube der Graph ist eine Logarithmus- oder Wurzelfunktion, das weiß ich aber nicht genau..
Ich brauche die Funktionsgleichung.
Die Variablen für z.B. die Fläche ist egal und müssen nicht realitätsnah sein. Da wären die Fläche des Sees, die "Fläche" eines Bakteriums. Zum Glück kann man aber auch in der Mathematik nur mit Variablen arbeiten.
Da ich hier auch meine Lösungsversuche zeigen muss, werde ich das mal tun, auch wenn die wahrscheinlich nicht wirklich hilfreich sind.
So von dem Aufbau der Funktion habe ich mir das so vorgestellt, dass sie so aussehen müsste:
z.B.:
[mm] [2^x*(...)] [/mm] + [logx*(...)+b]
Erklärung für meine Vermutung:
[mm] 2^x [/mm] (für das exponentielle Wachstum)
(...) (wenn es die Hälfte der Fläche erreicht, soll das Ergebnis der Klammer 0 sein, bin aber zu keinem Ergebnis gekommen, das ist ja mein Problem)
logx (wenn mehr als die Hälfte der Fläche eingenommen wurde, weiß aber nicht genau, welche Funktion es sein soll.)
(...) (wieder das selbe, bloß soll hier nur 0 rauskommen, wenn weniger als die Hälfte der Fläche eingenommen wurde)
b (Für die Verschiebung des Graphen, müssen aber wahrscheinlich noch mehr Zahlen/Variablen sein)
Ich hoffe das es verständlich ist, was ich geschrieben habe.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
[http://www.spieleforum.de/thema/356985.html]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:18 Mi 04.03.2009 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Unbekannter,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Liegen Dir eventuell mehr Informationen vor, als Du hier verrätst?
Etwa Zahlenwerte oder eine Funktionskurve?
Dann würden wir daran sehr gerne teilhaben.
Gruß vom
Roadrunner
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Zahlenwerte wurden nicht vorgegeben, soll wahrscheinlich irgendwie allgemeingültig ausgedrückt werden.
Ich kann natürlich auch Zahlen vorgeben.
Ein Bakterium nimmt 1 Flächeneinheit ein. Der See ist 1000000 Flächeneinheiten groß. Könnte man gegebenfalls noch vergrößern.
Die Exponentialfunktion am Anfang ist dann [mm] 2^x. [/mm] Wie gesagt, die Kurve ändert sich dann, ähnelt, ist es vielleicht dann auch, der Logarithmusfunktion(log).
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:00 Mi 04.03.2009 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Unbekannter,
also: Ich vermute ja eher, dass es sich um eine "logistische Wachstumsfunktion" handeln soll!
Google doch mal mit diesem Stichwort!
mfG!
Zwerglein
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> Ein Bakterium nimmt 1 Flächeneinheit ein. Der See ist
> 1000000 Flächeneinheiten groß.
> Könnte man gegebenfalls noch vergrößern.
Wenn's irgendwie realistisch sein soll, unbedingt !
Andernfalls sehe ich da entweder etwas, das man nicht
mal eine Pfütze nennen könnte, oder aber Megabakterien
in der Art fürchterlicher Aliens ... 
Al
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Hallo,
Zwerglein hat dir doch schon das Stichwort für die Lösung gegeben, welche zu deinem Graphen passt:
Logistisches Wachstum.
Und ,dass Du danach googlen kannst, hat er Dir auch gesagt.
Hier ein Link:
![[]](/images/popup.gif) http://www.emath.de/Referate/Logistisches-Wachstum.pdf
Zu lösen wäre eine Differentialgleichung
[mm] $\bruch{dN}{dt}=k*N(t)*[S-N(t)]$
[/mm]
(S=obere Schranke der Bakterienpopulation)
wozu Du unter anderem eine Partialbruchzerlegung durchführen musst. Ob das schon Stoff der Klasse 11 ist bezweifele ich etwas. Wohl aber in Bundesländern, in welchen es noch Mathe-LKs gibt. Unmöglich es sich anzueignen ist es aber nicht.
LG, Martinius
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Ja, das habe ich gemeint, schon ziemlich kompliziert, werde aber mal schauen.
Ich mache dieses Thema gerade im Physik-Profilkurs.
@ Martinius: Deine Gleichung hier, könnstes du hier nochmal erklären, was die variablen bedeuten, für was die stehen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:26 Mi 04.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Habt ihr denn Differentialgleichungen gehabt?
N ist die Anzahl der Bakterien oder die Flaeche , die sie bedecken (weil das ja proportional ist. k gibt ein mass dafuer wie schnell sie zunehmen. S ist bei dir die Gesamtflaeche des Teichs oder die Maximalzahl der Baktis.
Gruss leduart
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> Hallo
> Habt ihr denn Differentialgleichungen gehabt?
> N ist die Anzahl der Bakterien oder die Flaeche , die sie
> bedecken (weil das ja proportional ist. k gibt ein mass
> dafuer wie schnell sie zunehmen. S ist bei dir die
> Gesamtflaeche des Teichs oder die Maximalzahl der Baktis.
> Gruss leduart
Nein, ich habe noch nicht Differentialgleichungen gehabt. Aber ich habe ja noch bis Mittwoch Zeit.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:19 Do 05.03.2009 | | Autor: | Martinius |
Hallo,
> Nein, ich habe noch nicht Differentialgleichungen gehabt.
> Aber ich habe ja noch bis Mittwoch Zeit.
Nun, das ist etwas knapp, aber schön, dass Du guten Mutes bist.
In dem Link, den ich Dir gegeben hatte, wird die Differentialgleichung gelöst; es handelt sich dabei um ein Schülerreferat. Wenn Du nur an der Lösung interessiert bist, kannst Du sie auch dem Referat entnehmen.
Ansonsten kannst Du dir ja einmal den
Papula, Band 2
aus deiner Stadtbücherei holen und einen Blick hinein werfen. Band 1 auch dazu. Aber wie gesagt: das wird knapp.
LG, Martinius
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