Ballistische Kurve < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo
Ich möchte gerne eine ballistische Kurve als Funktion aufstellen.
Danach möchte ich wissen, wo der Körper, der diese Kurve beschreibt, aufschlägt.
Daten:
[mm] 'x=v*cos\varphi
[/mm]
[mm] 'z=-v*sin\varphi
[/mm]
[mm] 'v=g*sin\varphi-k_{w}*v^2
[/mm]
[mm] '\varphi=(g*cos\varphi-k_{a}*v^2)/v
[/mm]
mit
x(0)=0
z(0)=0
[mm] v(0)=v_{0}=26,2
[/mm]
[mm] \varphi(0)=0 [/mm]
Werte Luftwiderstand und Auftrieb:
[mm] k_{w}=25 [/mm] und [mm] k_{a}=36
[/mm]
Es handelt sich also um einen horizontalen Wurf.
1. Zwischenfrage:
Müsste [mm] 'x=v*cos\varphi [/mm] nicht eigentlich [mm] 'x=v*cos\varphi*t [/mm] heißen?
und ist [mm] 'z=-v*sin\varphi [/mm] nicht eigentlich [mm] 'z=\bruch{1}{2}*-v*sin\varphi*t [/mm] heißen?
Ich hab 2 Ansätze, wobei der eine, sollte er stimmen, ein Einsetzfehler haben muss.
[mm] 'x=v*cos\varphi*t [/mm] ; [mm] \bruch{x}{v*cos\varphi}
[/mm]
In [mm] 'z=-v*sin\varphi\rightarrow\buch{1}{2}*-v*sin\varphi*t [/mm] (siehe oben)
't in 'z: [mm] \bruch{1}{2}*v*sin\varphi*\bruch{x}{v*cos\varphi}
[/mm]
[mm] 'v=g*sin\varphi-k_{w}*v^2 [/mm] und [mm] '\varphi=(g*cos\varphi-k_{a}*v^2)/v [/mm] in 'z eingesetz
[mm] 'z=\bruch{1}{2}*-(g*sin\varphi-k_{w}*v^2)*sin(g*cos(\varphi-k_{a}*v^2)/v)*\bruch{x}{v*cos\varphi}
[/mm]
Einsetzen der Werte:
[mm] k_{a}=36 [/mm] , [mm] k_{w}=25, [/mm] v=26,2m/s, [mm] g=9,81m/s^2
[/mm]
Wenn man nun auf den Nenner schaut und denkt, dass man da 0° einsetzt, dann gebe es eine Division durch 0. Das geht also nicht.
Die andere Möglichkeit ist zu integrieren. So sollte es eigentlich sein. Schaut auch auf den ersten Blick ganz gut aus aber ich kann dann [mm] 'v=g*sin\varphi-k_{w}*v^2 [/mm] und
[mm] '\varphi=(g*cos\varphi-k_{a}*v^2)/v
[/mm]
nicht angeben.
Versuch:
[mm] 'x=v*cos\varphi;
[/mm]
[mm] \bruch{x}{cos\varphi}=v [/mm] (*-1)
[mm] -\bruch{x}{cos\varphi}=-v
[/mm]
In [mm] 'z=-v*sin\varphi [/mm] eingesetzt:
[mm] 'z=-\bruch{x}{cos\varphi}*sin\varphi [/mm] Beschleunigung!?
Integrieren um Geschwindigkeit!?-sfunktion zu bekommen:
[mm] \integral_{f(-\bruch{x}{cos\varphi}*sin\varphi) dt}
[/mm]
= [mm] -\bruch{x*sin\varphi}{cos\varphi}*t+c [/mm] Dabei ist [mm] c=v_{0}=26,2m/s [/mm]
[mm] \integral_{f(-\bruch{x*sin\varphi}{cos\varphi}*t+v_{0})dt}
[/mm]
= [mm] -\bruch{x*sin\varphi}{cos\varphi}*t^2+v_{0}t+c [/mm]
c=0
[mm] \Rightarrow F_{t}(x)=-\bruch{x*sin\varphi}{cos\varphi}*t^2+v_{0}t
[/mm]
Wenn das richtig ist...was setze ich dann für [mm] \varphi [/mm] und ein?
Ist der Nenner [mm] cos\varphi =cos'\varphi?
[/mm]
Wird dann in [mm] '\varphi [/mm] 'v eingesetzt?
Danke für eure Mühe
Semimathematiker
|
|
| |
|
Hallo
Ich bin immernoch interessiert ob eine meiner beiden Lösungsansätze zumindest in die richtige Richtung führt.
Danke für´s wenigstens überfliegen ;)
Semimathematiker
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:50 Fr 19.09.2008 | | Autor: | chrisno |
Ich fange mal an, doch gehe ich nur auf die erste Frage ein.
>
> Daten:
> [mm]'x=v*cos\varphi[/mm]
> [mm]'z=-v*sin\varphi[/mm]
> [mm]'v=g*sin\varphi-k_{w}*v^2[/mm]
> [mm]'\varphi=(g*cos\varphi-k_{a}*v^2)/v[/mm]
Dieser vorgestellt Strich ist offenbar ein Symbol für die
Ableitung einer Funktion nach der Zeit. Hier wäre ein
[mm] $\dot{x}$ [/mm] usw. besser.
> 1. Zwischenfrage:
> Müsste [mm]'x=v*cos\varphi[/mm] nicht eigentlich [mm]'x=v*cos\varphi*t[/mm]
> heißen?
Eben nicht. Es handelt sich bei $'x$ nicht um $x(t)$ sondern um [mm] $\dot{x} [/mm] = [mm] \bruch{dx}{dt}$ [/mm] oder um $x'(t)$ wobei nach der Variablen t abgeleitet wird.
|
|
|
| |
|
> Hallo
> Ich möchte gerne eine ballistische Kurve als Funktion
> aufstellen.
> Danach möchte ich wissen, wo der Körper, der diese Kurve
> beschreibt, aufschlägt.
>
> Daten:
> [mm]'x=v*cos\varphi[/mm]
> [mm]'z=-v*sin\varphi[/mm]
> [mm]'v=g*sin\varphi-k_{w}*v^2[/mm]
> [mm]'\varphi=(g*cos\varphi-k_{a}*v^2)/v[/mm]
> mit
> x(0)=0
> z(0)=0
> [mm]v(0)=v_{0}=26,2[/mm]
> [mm]\varphi(0)=0[/mm]
> Werte Luftwiderstand und Auftrieb:
> [mm]k_{w}=25[/mm] und [mm]k_{a}=36[/mm]
>
> Es handelt sich also um einen horizontalen Wurf.
Hallo Semimathematiker,
Dieses Differentialgleichungssystem ist doch recht
komplex. Zuerst habe ich gezweifelt, ob diese
Gleichungen überhaupt stimmen können.
Könntest du zur Kontrolle die Quelle angeben,
von der du die Gleichungen hast ?
Zweitens habe ich erhebliche Zweifel, ob man da
durch Integration eine geschlossene Formel für die
Bahnkurve aufstellen kann. Meiner Ansicht nach ist
dies ein Fall für numerische Integration,
wobei man die Bewegung in kleinen Zeitschritten
verfolgt. Für die numerische Integration gibt es
verschiedene Methoden (z.B. Euler, Heun oder
Runge-Kutta), die man in einem Programm oder
in einer Tabellenkalkulation implementieren kann.
Zum Anfangen würde ich dir einmal das einfache
(aber noch nicht allzu genaue) Verfahren von
Euler empfehlen.
Al-Chwarizmi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 04:14 So 21.09.2008 | | Autor: | w_a_k |
Hallo Semimathematiker,
die Aufgabenstellung ist komplex und in Deiner allgemeinen Fragestellung mit Mitteln der Schulmathematik nicht zu lösen.
Prinzipiell geht man so vor:
Anstelle einer Beziehung zwischen x und z (Ortskurve) ist es einfacher die Parameterdarstellungen mit der Zeit x=x(t) und z=z(t) zu benutzen. Dann kann man unter Benutzung der bekannten Kräfte (Gewicht und Luftwiderstand) mittels F=ma (Newton) Bewegungsgleichungen in x- und in z-Richtung aufstellen, wobei hier zunächst die Beschleunigungen in x- und z- Richtung stehen. Integration liefert die entsprechenden Geschwindigkeiten und nochmalige Integration die Wege. Die Ortskurve in der Form z=z(x) erhält man daraus, wenn man die Zeit t eliminiert.
Auf diese Weise läßt sich die Bahn des schiefen Wurfs ohne Luftwiderstand (LW) auch mit Schulmathematik leicht herleiten. Zur Einführung in die Problematik ist das hilfreich.
Kommt der LW hinzu, dann wird es schwierig. In der Ballistik wird der LW meist proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit angesetzt, innerhalb gewisser Geschwindigkeitsgrenzen ist diese Annahme auch sinnvoll.
Und jetzt kommt der entscheidende Punkt für die Lösbarkeit:
Der LW wirkt entgegen der Richtung der augenblicklichen Geschwindigkeit.
Wenn man den LW getrennt in x- und z-Richtung ansetzen kann, dann bekommt man etwas kompliziertere DGL als ohne LW, die Geschwindigkeitsintegrale lassen sich aber noch ganz gut lösen, in senkrechter Richtung muß man dabei den aufsteigenden und absteigenden Ast separat behandeln. Die Wegintegrale sind elliptisch und häßlich, aber auch hier gibt es geschlossene analytische Lösungen. Für eine KanonenKUGEL kann man das so machen.
Kann man das nicht aufteilen, dann sind nur noch numerische Lösungen möglich. Dieser Fall tritt bei beliebig geformten Gegenständen ein.
Ich hätte aber noch einige Fragen zu Deiner Aufgabenstellung:
Was fliegt denn da überhaupt?
Ungewöhnlich ist die Berücksichtigung des Auftriebs, der hängt extrem von der Anströmungsrichtung ab und einfache Lösungen gehen dann nicht mehr. Wenn ich mir Deine Beiwerte ansehe - handelt es sich um ein Segelflugzeug?
Welche Bedeutung hat die Winkelgeschwindigkeit in Deiner Aufgabe?
Grüße von
[mm] w_a_k
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo [mm] w_a_k [/mm] ,
Du schreibst:
"Wenn man den LW getrennt in x- und z-Richtung ansetzen kann,
dann bekommt man etwas kompliziertere DGL als ohne LW, die
Geschwindigkeitsintegrale lassen sich aber noch ganz gut lösen,
in senkrechter Richtung muß man dabei den aufsteigenden und
absteigenden Ast separat behandeln. Die Wegintegrale sind elliptisch
und häßlich, aber auch hier gibt es geschlossene analytische Lösungen.
Für eine KanonenKUGEL kann man das so machen."
Ich habe einen entsprechenden Artikel gefunden, in welchem genau
diese Integration gezeigt wird:
![[]](/images/popup.gif) Schiefer Wurf mit Luftwiderstand
Ich frage mich jedoch sehr, ob es physikalisch gesehen wirklich Sinn
macht, den Luftwiderstand in zwei unabhängige (!) Komponenten
in x- und z-Richtung zu zerlegen. Irgendwie vermute ich, dass diese
Aufteilung physikalisch nicht realistisch ist und nur dem Wunsch
entspringt, Differentialgleichungen zu erhalten, die man dann
geschlossen integrieren kann.
Was meinst du dazu, und kannst du ev. eine Quelle angeben,
wo diese Aufteilung auch physikalisch gerechtfertigt wird ?
Du schreibst, bei einer Kanonenkugel gehe es - aber weshalb ??
Der Betrag der Geschwindigkeit, dessen Quadrat in den LW eingeht,
ist ja von beiden Komponenten abhängig und führt nach
meiner Ansicht zwangsläufig zu einer Koppelung, ausser wenn der
Geschwindigkeitsvektor horizontal oder vertikal gerichtet ist.
Gruß al-Chwarizmi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:04 So 21.09.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Aufteilung in ungekoppelte Gleichungen in x und y Richtung ist sicher falsch.
Nimm das einfache Beispiel eines Autos, das nur mit Luftwiderstand geradeausfaehrt, oder schalt die Schwerkraft aus.
je nach Wahl der x-y Achse beschreibt das Auto dnn ne Kurve, legt man eine Achs in Bewegungsrichtung faehrt es geradeaus, sonst nicht!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
danke für die Bestätigung ! 
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:41 So 21.09.2008 | | Autor: | w_a_k |
Hallo Al-Chwarizmi,
bei nichtlinearen Widerstandsgesetzen sind die DGL gekoppelt und nur numerisch lösbar. Die Technik dafür ist noch nicht allzu lange verfügbar. Um trotzdem ballistische Kurven berechnen zu können, wurde das entkoppelte System für etwa 100 Jahre als Näherungslösung benutzt, wobei man versuchte, die Fehler durch Korrekturfaktoren und durch stückweise Approximation zu kompensieren.
Zu Quellen:
Die Problematik ist behandelt in den Klassikern C. Cranz, Lehrbuch der Ballistik (um 1925) oder auch McShane, Kelley, Reno, Exterior Ballistics (1953). Eine umfassende moderne Darstellung findet man bei McCoy, Modern Exterior Ballistics (1973), dieses Buch ist sehr lesenswert.
Sehr gebräuchliche Korrekturfaktoren stammen von Siacci in diversen Arbeiten (um 1900).
Grüße von
[mm] w_a_k
[/mm]
|
|
|
| |
|
> Hallo Al-Chwarizmi,
>
> bei nichtlinearen Widerstandsgesetzen sind die DGL
> gekoppelt und nur numerisch lösbar. Die Technik dafür ist
> noch nicht allzu lange verfügbar. Um trotzdem ballistische
> Kurven berechnen zu können, wurde das entkoppelte System
> für etwa 100 Jahre als Näherungslösung benutzt, wobei man
> versuchte, die Fehler durch Korrekturfaktoren und durch
> stückweise Approximation zu kompensieren.
Verstehe. Ballistik hat in den vergangenen zwei Jahrhunderten
wahrlich eine erhebliche und unselige Rolle gespielt, schon lange
bevor leistungsfähige Computer zur Verfügung standen, mit
welchen die numerischen Methoden zur Berechnung von
Flugbahnen erst praktikabel wurden.
Danke für die Literaturangaben.
LG al-Chw.
|
|
|
| |
|
Die Qelle findet ihr in meinem Thread "Kreisgleichung". Es geht jetzt also um den Springer, der die Schanze runterspringt.
Ich hab bisher die Komplette Anlage in Funktionen beschrieben und bewiesen, dass sie, außer am Koordinatenkreuz, stetig und differenzierbar ist. Jetzt wollte ich die Flugbahn des Springers beschreiben.
Richtig ist, das die Flugbahn durch integrieren beschrieben werden muss, weil ich sonst nur eine geradlinige Bewegung habe (Siehe auch erster Versuch von mir). Also habe ich die x-Gleichung genommen und nach v aufgelöst um sie dann in die z-Gleichung einzusetzen. Soweit sollte es richtig sein. Bis zu diesem Punkt ist es auch nichts anderes wie eine Wurfparabel in einem Luftleeren Raum. Ich glaube, dass das was ich dabei rausbekommen habe, die Beschleunigung a ist (siehe Versuch 2). Also habe ich sie 2 mal nach dt integriert. Also nach Geschwindigkeit und dann nach dem Weg. Ziel ist die Funktion nach dem Weg in Abhängigkeit von der Zeit. Dann könnte ich ja noch die Zeit eliminieren und hab dann eine Funktion, mit der ich, durch Gleichsetzen mit der "Bodenfunktion" den Aufsetzpunkt des Springers habe. Oder ich ermittel mit der "Bodenfunktion" meinen x/y-Wert, und setz das in meine andere Funktion ein um die Zeit t zu bekommen. Ich könnte damit vielleicht sogar herausfinden, wie schnell der Springer am Absprung sein muss um den fiktiven Punkt x/y zu erreichen.
Ach ja. ihr werdet sehen, das da verschiedene Absprungwinkel angegeben sind. Von diesen abhängig sind [mm] k_{a} [/mm] und [mm] k_{w}. [/mm] Ich mach´s mir da einfach und sage einfach der Absprungwinkel ist 0°. Das reicht dann schon.
Die Angaben findet ihr dann auf Seite 18 und 19.
Danke
Semimathematiker
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
Hallo Semimathematiker,
ich habe gar nicht geahnt, dass es bei dieser Ballistik-
aufgabe immer noch um die Schanze geht, deren geometrische
Form wir schon behandelt haben.
Auch nach Betrachtung der Unterlagen bin ich sicher, dass
die Integration nur auf numerischem Weg zu schaffen sein
wird.
Ein Detail: Bei den ursprünglichen Daten für [mm] k_w [/mm] und [mm] k_a, [/mm] die
du im ersten Beitrag angegeben hast, war ich erstaunt über
deren Grösse: 25 und 36 . Bei meinen Rechnungen führte
dies dazu, dass, um im Bild zu bleiben, der Skispringer gar
nicht von der Schanze kam, sondern von der Luftwiderstands-
kraft heftigst zurückgeblasen wurde ...
Der Tabelle auf Seite 19 entnehme ich nun aber, dass z.B.
[mm] k_w [/mm] nicht 25 ist, sondern [mm] k_w=0.0025 [/mm] ! Ferner bleiben
[mm] k_w [/mm] und [mm] k_a [/mm] während des Fluges nicht konstant, sondern
sind von der Fluglage, also vom jeweiligen Winkel [mm] \varphi [/mm] abhängig.
Beim Wunsch, die Zeit aus den Gleichungen eliminieren
zu können, muss ich dich wohl enttäuschen. Es werden
sich schon x(t) und y(t) nicht durch geschlossene Formeln
ausdrücken lassen.
Trotzdem sind deine weiteren Wünsche, z.B. die Berechnung
des Landepunktes, durchaus erfüllbar, unter der Voraussetzung,
dass die richtigen Gleichungen vorliegen.
Die Simulation wird allerdings numerisch durchzuführen sein.
Ich will mir die Fragen gerne nochmals überlegen und
werde wieder berichten, falls ich zu brauchbaren Resultaten
komme.
LG al-Chwarizmi
|
|
|
|
