Ballonaufgabe zur Integralr. < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:28 So 26.08.2012 | | Autor: | Delia00 |
Hallo Zusammen,
es geht um eine Einführungsaufgabe zur Integralrechnung.
Es handelt sich hierbei um die Ballonaufgabe. (Die findet man ganz leicht, wenn man bei google folgendes eingibt:
heißluftballon+integralrechnung
Uns Lehrer hat uns ein Lösungsblatt gegeben und da steht folgender Satz, den ich leider nicht verstehe:
Der Term sei f(x). Gesucht ist dann der Funktionsterm F(x)
der zugehörigen Weg/Zeit-Funktion mit der Ableitung
F'(x) = f(x), denn die Geschwindigkeit ist die Ableitung der
Weg/Zeit-Funktion.
Wieso ist dann der Funktionsterm F(x) gesucht???
Kann mir da bitte jemand weiter helfen.
Danke
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> Hallo Zusammen,
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> es geht um eine Einführungsaufgabe zur Integralrechnung.
>
> Es handelt sich hierbei um die Ballonaufgabe. (Die findet
> man ganz leicht, wenn man bei google folgendes eingibt:
> heißluftballon+integralrechnung
>
http://www.wilhelm-gymnasium.de/dateien/mathe/G1-Aufgaben.pdf
>
> Uns Lehrer hat uns ein Lösungsblatt gegeben
Die werden auch immer fauler, oder?
> und da steht
> folgender Satz, den ich leider nicht verstehe:
>
> Der Term sei f(x). Gesucht ist dann der Funktionsterm F(x)
> der zugehörigen Weg/Zeit-Funktion mit der Ableitung
> F'(x) = f(x), denn die Geschwindigkeit ist die Ableitung
> der
> Weg/Zeit-Funktion.
>
> Wieso ist dann der Funktionsterm F(x) gesucht???
>
Der ganze Text vom Arbeitsblatt ist nicht gerade günstig gewählt.
Du hast ein Diagramm, auf dem die Geschwindigkeit (y-Achse) gegenüber der Zeit (x-Achse) abgetragen ist.
Der rot eingezeichnete Graph ist die Funktion f(x).
[Dateianhang nicht öffentlich]
Würde man dir einen belieben Zeitpunkt x sagen, so könntest du direkt vom Diagramm die Geschwindigkeit f(x) ablesen.
Man hat nun die Geschwindigkeit und die Zeit gegeben.
Irgendwann sollte im Physikunterricht (vielleicht auch nie) dran kommen, dass die Geschwindigkeit die Ableitung des Weges nach der Zeit ist.
Dies bedeutet, dass die Geschwindigkeit als Funktion f(x) eine Ableitung einer anderen Funktion F(x) ist. Würdest du F(x) nach x ableiten, so erhälst du
F'(x) = f(x) die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt x.
Bsp.: Ist [mm]f(x) = x^2[/mm] gegeben, so wäre z.B. [mm]F(x)=3x^3[/mm] eine Möglichkeit, da ja [mm]F(x)'=(3x^3)'=x^2=f(x)[/mm] ist.
Du hast
f(x) : Geschwindigkeit zum Zeitpunkt x
Fläche unter dem Graphen : zurückgelegter Weg
Hierbei ist $|F(b)-F(b)|$ die Fläche unter dem Graphen f(x) zwischen a und b.
Der gesamte Weg ist die gesamte Fläche [mm] $A_{\text{ges}}$ [/mm] unter dem Funktionsgraphen von f(x).
Der Funktionsgraph hat vier Nullstellen. Ich nenne sie [mm]x_1,x_2,x_3,x_4[/mm]. An diesen kehrt sich die Geschwindigkeit um - der Ballon fährt in die andere Richtung.
Der rote Graph passiert mehrfach die x-Achse und man erhält 3 Flächenstücke [mm] $A_1,A_2,A_3$.
[/mm]
Wenn man nun [mm]|F(x_2)-F(x_1)|[/mm] berechnet, so erhält man den Flächeninhalt vom ersten Flächenstück, .....
Berechnet man [mm]|F(x_3)-F(x_2)|[/mm] zu bekommt man den Flächeninhalt von [mm] $A_2$.
[/mm]
Der gesamte zurückgelegte Weg ist
[mm] $A_{\text{ges}}=A_1+A_2+A_3=|F(x_2)-F(x_1)|+|F(x_3)-F(x_2)|+|F(x_4)-F(x_3)|$
[/mm]
gruß
wieschoo
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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