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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:35 Di 11.04.2006 | | Autor: | alx3400 |
| Aufgabe | Ein Tupel (X , [mm] \parallel \parallel) [/mm] heißt Banach-Raum, wenn X ein Vektorraum, [mm] \parallel \parallel [/mm] eine Norm und X mit [mm] \parallel \parallel [/mm] vollständig normiert ist, d.h. jede Cauchy-Folge in X gegen ein Element aus X konvergiert. Sei im Folgenden immer [mm] \parallel [/mm] f [mm] \parallel [/mm] = [mm] \parallel [/mm] f [mm] \parallel _{\infty} [/mm] = [mm] \sup_{x \in \IR} [/mm] | f(x) |.
Diskutieren sie, für welche Wahl von X das Tupel [mm] (X,\parallel \parallel) [/mm] ein Banachraum ist.
[mm] X_{1} [/mm] = {f: [mm] \IR \to \IR; [/mm] f stetig und beschränkt.}
[mm] X_{2} [/mm] = {f: [mm] \IR \to \IR; [/mm] f gleichmäßig stetig und beschränkt.}
[mm] X_{3} [/mm] = {f: [mm] \IR \to \IR; [/mm] f stetig und [mm] \limes_{|n|\rightarrow\infty} [/mm] f(x)=0.}
[mm] X_{4} [/mm] = {f: [mm] \IR \to \IR; [/mm] f stetig differenzierbr und beschränkt.} |
Hallo,
ich habe mir angeschaut, was ein Banach-Raum und kann auch etwas damit anfangen, dass alle Cauchy-Folgen in X gegen Elemente aus X konvergieren sollen.
Allerdings komme ich bei der Aufgabe nicht weit. Vor allem verstehe ich nicht, was die Norm damit zu tun hat und warum es wichtig ist, dass hier die Supremumsnorm eingesetzt wird.
Ich hoffe, ihr könnt mir bei der Aufgabe ein wenig auf die Sprünge helfen.
Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Danke
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Hallo!
> Allerdings komme ich bei der Aufgabe nicht weit. Vor allem
> verstehe ich nicht, was die Norm damit zu tun hat und warum
> es wichtig ist, dass hier die Supremumsnorm eingesetzt
> wird.
Auf die Norm kommt es ganz entscheidend an! Wenn du z.B. den $C([0;1])$ - also den Raum der stetigen Funktionen auf $[0;1]$ - mit der [mm] $L^1$-Norm [/mm] versiehst, so ist das kein Banachraum, denn wegen
[mm] $\int_0^1|x^n-x^m|dx=\int_0^1 x^n-x^mdx=\bruch 1{n+1}-\bruch 1{m+1}\le \bruch [/mm] 1N$
für [mm] $N\le n\le [/mm] m$ ist [mm] $(x_n)$ [/mm] eine Cauchyfolge in [mm] $\big(C([0;1]);\|.\|_1\big)$. [/mm] Der Grenzwert aber wäre die Funktion [mm] $\delta_1(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } 0\le x<1 \\ 1, & \mbox{für } x=1 \end{cases}.$
[/mm]
[mm] $\delta_1$ [/mm] ist unstetig, liegt also nicht im Raum und somit ist [mm] $\big(C([0;1]);\|.\|_1\big)$ [/mm] kein Banachraum.
Mit der Supremumsnorm sähe das aber ganz anders aus, denn [mm] $\|x^n-\delta_1\|_\infty=\bruch [/mm] 12$ für alle $n$. Hier wäre [mm] $(x^n)$ [/mm] also keine CF mehr!
Der Trick bei dieser Aufgabe ist entweder ein Gegenbeispiel zu finden, oder eine beliebige Cauchy-Folge zu wählen und aus deren Eigenschaften abzuleiten, dass die Grenzfunktion sich ebenfalls im Raum befindet.
Helfen dir diese Anregungen ein bisschen weiter? Vielleicht könntest du ja mal deine Lösungsansätze posten!
Gruß, banachella
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