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| Aufgabe | a) Sei (X,d) ein vollständiger metrischer Raum, [mm] \varphi [/mm] : X [mm] \rightarrow [/mm] X eine kontrahierende Abbildung mit einer Kontraktionskonstanten k [mm] \in [/mm] [0,1), [mm] x_0 \in [/mm] X beliebig und [mm] x_n [/mm] := [mm] \varphi [/mm] ^n [mm] (x_0) [/mm] die n-te Iterierte. Nach dem Banach'schen Fixpunktsatz hat [mm] \varphi [/mm] genau einen Fixpunkt [mm] x^\*. [/mm] Für diesen gelten folgende Fehlerabschätzungen:
[mm] d(\varphi [/mm] (x), [mm] x^\*) [/mm] <= [mm] \bruch{k}{1-k} [/mm] * [mm] d(\varphi [/mm] (x) , x) [mm] (x\in [/mm] X),
a posteriori [mm] d(x_n, x^\*) [/mm] <= [mm] \bruch{k}{1-k} [/mm] * d( [mm] x_n, x_{n-1}),
[/mm]
a priori [mm] d(x_n, x^\*) [/mm] <= [mm] \bruch{k^n}{1-k} [/mm] * [mm] d(x_1, x_0).
[/mm]
Beweisen Sie diese Ungleichungen.
b) Zeigen Sie mit dem Banach'schen Fixpunktsatz: Es gibt genau eine stetige Funktion f:[0,1] [mm] \rightarrow \IR [/mm] , die der Gleichung
f(x) = x + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] sin(f(x)) für alle x [mm] \in [/mm] [0,1] genügt. |
Hallo an alle!!
Ich hab mal wieder ein schwerwiegendes Problem mit der Analysis! Ich weiß zwar was der Banach'sche Fixpunktsatz bedeutet und auch die Fehlerabscchätzung könnte ich anwenden, aber wie kann man die beweisen? Ich find da einfach keinen Ansatz der mich zum Ziel führt! Auch bei b) weiß ich nicht wirklich was ich machen soll! Den Satz anwenden um einen Fixpunkt herauszubekommen, ist ja nicht unbedingt ein Problem aber wie kann man ihn bei diesem Problem verwenden?
Für jegliche Hilfe wäre ich sehr dankbar!
MfG, SusiSunny
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:53 Sa 02.06.2007 | | Autor: | max3000 |
Hallo.
Sicherlich auch TU-Dresden, Analysis bei Prof. Voigt.
Die 2. Teilaufgabe hab ich hier auch schon gefragt und schon fast beantwortet bekommen, fehlt nur noch ein kleines bisschen.
Die Aufgabe a hab ich schon, hier mal die Lösung:
1. Ungleichung:
[mm] d(\varphi(x),x^*)\le \bruch{1}{1-k}d(\varphi(x),x)
[/mm]
Da muss man einfach mal abschätzen:
[mm] d(\varphi(x),x^*)=d(\varphi(x),\varphi(x^*)) [/mm] wegen Fixpunktdefinition
[mm] \le [/mm] k*d(x,x^*) wegen Kontraktion
[mm] \le k(d(\varphi(x),x)+d(\varphi(x),x^*)) [/mm] wegen Dreiecksungleichung und Fixpunktdef.
[mm] \le k(d(\varphi(x),x)+k*d(x,x^*))
[/mm]
Jetzt hast du wieder den Ausdruck d(x,x^*) drin, den du immer wieder mit Dreiecksungleichung und Kontraktion auf [mm] \le d(\varphi(x),x)+k*d(x,x^*) [/mm] abschätzt.
Dann erhälst du bei unendlichem Anwenden:
[mm] k(d(\varphi(x),x)+k(d(\varphi(x),x)+k(d(\varphi(x),x)+...)))
[/mm]
[mm] =k(1+k+k^{2}+...)d(\varphi(x),x) [/mm] durch ausklammern
[mm] =k(\summe_{i=0}^{\infty}k^{i})d(\varphi(x),x)
[/mm]
[mm] =\bruch{k}{1-k}d(\varphi(x),x) [/mm] mit geometrischer Reihe (Kapitel 6 in der Vorlesung).
Die 1. ist somit bewiesen, du siehst man muss immer Dreiecksungleichung, Fixpunktdefinition und Kontraktion anwenden, dann kommt man drauf.
Bei den anderen 2 Ungleichungen hab ich erst nicht verstanden, was die mit "n-te Iterierte" meinen. Das ist so gemeint, dass [mm] x_{n+1}=\varphi(x_{n}). [/mm] Das ist denk ich mal verständlicher.
Also geht die 2. Ungleichung so:
[mm] \alpha:=d(x_{n},x^*)
[/mm]
[mm] =d(\varphi(x_{n-1}),\varphi(x^*)) [/mm] wegen Fixpunktdefinition
[mm] \le k*d(x_{n-1},x^*) [/mm] wegen Kontraktion
[mm] \le k(d(x_{n-1},x_{n})+d(x_{n},x^*)) [/mm] wegen Dreiecksungleichung
= [mm] k(d(x_{n-1},x_{n})+\alpha) [/mm] siehe Definition von [mm] \alpha
[/mm]
Mit diesem Alpha kann man die Schritte unendlich mal anwenden und erhält:
[mm] \alpha\le k*d(x_{n-1},x_{n})*(1+k+k^{2}+....)
[/mm]
[mm] =\bruch{k}{1-k}*d(x_{n-1},x_{n}) [/mm] Wieder geometrische Reihe
Somit wäre auch die 2. bewiesen.
Die 3. machst du nur so:
-Wende die 2. Ungleichung einmal an
-Verkleinere die Indizes durch iterative Definition und dann Kontraktion
sprich: [mm] d(x_{n},x_{n-1})=d(\varphi(x_{n-1}),\varphi(x_{n-2}))\le k*d(x_{n-1},x_{n-2})
[/mm]
und das ganze eben bis zu den Indizes 0 und 1.
Ich hoffe ich konnte dir damit etwas weiterhelfen.
Wie gesagt, Aufgabe b hab ich hier schon gestellt und schon sehr viele hilfreiche Antworten bekommen.
Gruß
Max
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