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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:04 Mi 20.05.2009 | | Autor: | briddi |
| Aufgabe | Sind die folgenden Aussagen wahr oder falsch:
1 Ist [mm] (V,\parallel [/mm] . [mm] \parallel_{V}) [/mm] ein Banachraum, f : V [mm] \to \IR [/mm] differenzierbar, so besitzt f ein Minimum und ein Maximum.
2. Kompakte Mengen in einem Banachraum sind beschränkt.
3. Ist [mm] (V,\parallel [/mm] . [mm] \parallel_{V}) [/mm] ein Banachraum, f : V [mm] \to \IR [/mm] differenzierbar, so ist f stetig. |
Hallo,ich soll diese behauptungen überprüfen, hab mir auch so meine gedanken gemacht,bin aber unsicher ob sie so richtig sind und würde mich freuen, wenn jemand grad zeit hat, sich das mal anzusehen:
zu 1: Ich glaube dass diese aussage falsch ist. ich habe an ein gegenbeispiel gedacht,und zwar kann ich doch [mm] \IR [/mm] auch als Banachraum nehmen und meine funktion f sieht zb so aus: f(x)=x. diese nimmt doch weder maximum noch minimum an. ist dieses gegenbeispiel zulässig?
zu 2.: bei dieser frage bin ich grad etwas verwirrt, ich hatte mir überlegt dass das stimmt,hab aber grad gelesen dass das anscheinend doch falsch ist. meine idee war die folgende: ich habe den satz: jede kompakte menge in einem metrischen raum ist beschränkt. und ein banachraum ist doch insbesondere auch ein metrischer raum,weil die jeweilige norm eine metrik induziert, also müsste das richtig sein.stimmt das?
zu 3.:hier hab ich eigenltihc nicht wirklich eine begründung, ich weiss dass die aussage stimmt,wenn [mm] V=\IR, [/mm] könnte mir höchstens vorstellen dass es probleme gibt wenn V unendlichdimensional ist, wüsste aber gerade nicht inwiefern das die stetigkeit behindern sollte, insofern würde ich behaupten dass die aussage stimmt, aber das ist mehr so eine vermutung.
Danke für Kommentare,anregungen etc.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:34 Mi 20.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> zu 1: Ich glaube dass diese aussage falsch ist. ich habe an
> ein gegenbeispiel gedacht,und zwar kann ich doch [mm]\IR[/mm] auch
> als Banachraum nehmen und meine funktion f sieht zb so aus:
> f(x)=x. diese nimmt doch weder maximum noch minimum an. ist
> dieses gegenbeispiel zulässig?
Ja, ist es.
> zu 2.: bei dieser frage bin ich grad etwas verwirrt, ich
> hatte mir überlegt dass das stimmt,hab aber grad gelesen
> dass das anscheinend doch falsch ist.
Wo gelesen? Quelle?
> meine idee war die
> folgende: ich habe den satz: jede kompakte menge in einem
> metrischen raum ist beschränkt. und ein banachraum ist doch
> insbesondere auch ein metrischer raum,weil die jeweilige
> norm eine metrik induziert, also müsste das richtig
> sein.stimmt das?
Ja, seh ich auch so.
> zu 3.:hier hab ich eigenltihc nicht wirklich eine
> begründung, ich weiss dass die aussage stimmt,wenn [mm]V=\IR,[/mm]
> könnte mir höchstens vorstellen dass es probleme gibt wenn
> V unendlichdimensional ist, wüsste aber gerade nicht
> inwiefern das die stetigkeit behindern sollte, insofern
> würde ich behaupten dass die aussage stimmt, aber das ist
> mehr so eine vermutung.
Was genau heisst denn diff.bar? Wenn es heißt, durch eine beliebige lineare Funktion approximiert werden kann, dann ist es falsch - denn es gibt nicht stetige lineare Funktionen im unendlichdimensionalen. Wenn die linearen Funktionen auch stetig sein soll, dann ist es die Funktion auch.
SEcki
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