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| Aufgabe | Sei [mm] V=\IR^{n} [/mm] , und für [mm] x=(x_{1},...,x_{n}) \in [/mm] V definiere
[mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel \infty=max [/mm] { | [mm] x_{i} [/mm] | : i=1,...,n } .
(a) Zeigen Sie, dass (V, [mm] \parallel\*\parallel \infty) [/mm] damit ein Banachraum (=vollständiger normierter Vektorraum) wird.
(b) Sei b [mm] \in [/mm] V ein Vektor und A [mm] \in \IR^{n \times n} [/mm] eine Matrix, welche für jedes i=1,...,n die Bedingung
[mm] \summe_{j=1}^{n} [/mm] | [mm] a_{i,j} [/mm] | < 1 erfüllt. Zeigen Sie, dass die Gleichung ( A - E )x = b eine eindeutige Lösung [mm] x\in [/mm] V besitzt, wobei [mm] E\in \IR^{n \times n} [/mm] die Einheitsmatrix ist. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen,
Meine erste Frage ist erstmal wie ich überhaupt zeige,dass es sich um einen Banachraum handelt.Ich hoffe mir kann jemand von euch weiter helfen.
Schonmal danke für jeden Tipp und jede Anregung!
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a) Banachraum
Du musst wohl zeigen, dass
[mm]\parallel x \parallel_\infty[/mm]
eine Norm ist; also [mm] \geq [/mm] 0 [mm] \forall [/mm] x, gleich Null für genau den Nullvektor, Dreiecksungleichung, etc.; das ist noch relativ einfach
Dann musst Du noch die Vollständigkeit nachweisen; also dass jede Cauchy-Folge konvergiert
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Hallo,
also das mit der Norm habe ich jetzt gezeigt,aber wie zeige ich,dass alle cauchyfolgen konvergieren?wär super wenn du mir da auch noch einen Tipp geben würdest.danke schonmal im voraus.
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Salve!
Ich bin z.Zt. etwas von meiner "Bibliothek" getrennt.
Ich meine mich erinnern zu können, dass man das im Reellen mittels einer Intervallschachtelung gezeigz hat. Vielleicht hilft Dir das ja irgendwie. Ein Beweis des Cauchyschen Konvergenzkriteriums.
Du musst beweisen, wenn eine beliebige Folge dem Cauchyschen Konvergenkriterium genügt, das also von einem gewissen N an alle [mm] a_n [/mm] in einer [mm] \epsilon [/mm] Umgebung liegen, dass diese Folge dann einen Grenzwert hat. Man teilt dann die Umgebung und schließt, dass in einer Hälfte fast alle (also undendlich viele, also von einem gewissen neuen N an alle) Glieder der Folge liegen. Das ist dann die Intervallschachtelung und die konvergiert, bzw. definiert eine (reelle) Zahl. Achja zum starten der Sache muss man irgendwie Beschränktheit nachweisen.
In Deinem Fall musst du n-dimensionale Intervalle (eine "Quaderschachtelung") benutzen; ich meine mich an sowas ebenfalls zu erinnern (Spezialfall Rechteck; vielleicht Cachysches Konvergenzkriterium im Komplexen?)
Ich hoffe das hilft Dir weiter
Gruß
Andreas
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Hallialo!
Ich habe mir auch mal meine Gedanken gemacht... ist es nicht recht simpel wie folgt zu zeigen:
EDiT:
Eine weitere Möglichkeit:
[mm](x_{k})\in \IN[/mm] sei eine CauchyFolge aus V.
Da wir wissen: "Jede Cauchy-Folge ist beschränkt." folgt die beschränktheit.
Somit folt mit "[Satz von Bolzano-Weierstrass] Jede beschränkte Folge aus dem [mm]\IR^{n}[/mm] enthält eine konvergente Teilfolge."
...,dass jede Cauchyfolge [mm](x_{k})\in \IN[/mm] aus [mm]V=\IR^{n}[/mm] in [mm]\IR^{n}[/mm] konvergiert.
oder liege ich da falsch ?
Der Kofferpacker
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Salvete!
Sagt der Satz von Bolzano-Weierstrass nicht, dass die beschränkte Folge einen Häufungspunkt enthält; will meinen, sie kann auch mehrere Häufungspunkte enthalten. In Deiner (Kofferpacker) formulierung: Sie kann auch mehrere konvergente Teilfolgen mit unterschiedlichen Grenzwerten enthalten.
Das müsste dann wohl die Voraussetzung (Cauchy-Folge) ausschließen. Weil: angenommen es gibt zwei a,b. Der Abstand sei [mm] \delta. [/mm] Wir nehmen [mm] \epsilon<\delta/2. [/mm] Dann gibt es ein N sodass [mm] \|x_n-x_m\|<\epsilon [/mm] für n,m>N.
Dann können aber a und b Häufungspunkte sein.
Meine Bedenken, auch bei meiner vorherigen Antwort: Wir haben noch niergends berücksichtigt, dass wir die Maximumnorm haben (also auch nicht im [mm] R^n [/mm] sind, denn der ist ja mit dem euklidischen Abstand versehen).
Grüße aus dem Matheversum
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Du hasst Recht... wie auch dein Beispiel dargestellt hat, ich hatte ihn nur schnell hingeschrieben... ich habe auch nochmals im Harro Heuser nachgesehen.... bestitzt mindestens eine konvergente Teilfolge..
Mein Hingeschriebener Satz...ist das "Auswahlprinzip von Bolzano-Weierstraß" was abeer oft als Satz bezeichnet wird ... wo ich mich beim nachschlagen befand... habe ich gleich auch nochmal die beweisart angeschaut... wo wir bei der Intervallschachtlung währen ;)...
der von dir genannte Satz besitzt im Harro Heuser keinen Namen...
..im prinzip gefällt mir mein beweis auch nicht... da er in jedem fall falsch sein muss, ich den fehler aber nicht sehe... in jedem fall wäre er auf jeder Metrik anwendbar... und da sind wir beim Kausus Knaxus... zu behaupten [mm] [uu]/IR^{n}[/uu] [/mm] mit jeder beliebigen Metrik sei vollständig...
daher habe ich zurvor auch einen anderen beweis getätigt von dem ich aber auch nicht wirklich überzeugt bin...
Sei [mm]x_{n}[/mm] eine Folge bezüglich der gegebenen Norm aus V
Sei [mm]N_{0}[/mm] so groß das gilt: [mm]\parallel x_{m}-x_{n} \parallel < \varepsilon[/mm] für [mm]m>n>N_{0}[/mm]
so gehen wir nun weiter und sagen....
[mm]|x_{n}-x_{m}| \le max|x_{n}-x_{m}|=\parallel x_{n}-x_{m} \parallel < \varepsilon[/mm] für [mm]n>m>N_{0}[/mm]
Der Kofferpacker
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Hallo,
ich hab da nochmal kurz eine Frage,da du meintest wir befänden uns nicht im [mm] \IR^{n} [/mm] .Aber in der Aufgabenstellung steht doch " Sei [mm] V=\IR^{n}...", [/mm] verstehe ich da jetzt irgendwas total falsch?
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Was Andreas meint ist...
Wir befinden uns in einem Vektorraum [mm]V= \IR^n[/mm] auf dem die Maximumsnorm definiert ist. Sprich nicht der normale [mm]\IR^n[/mm], spich nicht in V.
mfG
Der KoFFeRpACKeR
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achso,alles klar...danke :)
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... da habe ich wohl nicht ganz richtig "hingelesen". [mm] R^n [/mm] in bezug auf Vektorraum ja... Aber wir befinden uns eben nicht im metrische Euklidischen Raum mit der normalen Euklidischen Metrik (wird wohl dann auch [mm] E_n [/mm] oder [mm] E^n [/mm] bezeichnet)
Und was ich sagen wollte: wir haben in den Beweisskizzen noch niergends die spezielle Norm berücksichtigt. Und ein Satz: Jeder metrische n-dimensionale Vektorraum ist vollständig existiert nicht.
Um nochmal auf meine letzte Bemerkung zurückzukommen:
Der Schluss muss natürlich heißen
Dann können aber a und b NICHT GLEICHZEITIG Häufungspunkte sein.
(Widerspruch) Womit ich eigentlich sagen wollte: Es kann nicht zwei Häufungspunkte geben - Das widerspräche der Annahme, dass es sich um eine Cauchyfolge handelt.
Der Ansatz von Kofferpacker hat nach dem 3. Durchlesen irgendwas: Vielleicht liegt meine Spätzündung an der Bezeichnung: n steht einmal als Index und einmal für die Dimension des Raumes
Ich versuchs mal anders:
Es sei also [mm] \|x_k-x_l\|<\epsilon [/mm] für [mm] k,l>N_0
[/mm]
Dann ist
[mm] |x_{ki}-x_{li}|\leq \max_{i=1..n}|x_{ki}-x_{li}|= \|x_k-x_l\|<\epsilon
[/mm]
Sieht eigentlich gut aus.
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Ich glaube ich habs jetzt.
Also es ist [mm] \|x_k-x_l\|<\epsilon [/mm] wenn [mm] k,l>N_0. [/mm] Wegen der Norm gilt
[mm] \|x_k-x_l\|=\max_{i=1\dots N}|x_{ki}-x_{li}|<\epsilon
[/mm]
Es gilt also für alle i=1...N jeweils [mm] |x_{ki}-x_{li}|<\epsilon, [/mm] (sobald [mm] k,l>N_0, [/mm] was wegen der Voraussetzung existiert) also ist jede Komponente einzeln jeweils Cauchyfolge (und wegen der Betragsstriche im [mm] R^1). [/mm] Also jat jede Komponente einen Grenzwert (wegen dem Cauchyschen Konvergenzkriterium, also weil [mm] R^1 [/mm] vollständig ist). Der Vektor der Grenzwerte sollte nun der Grenzwert der Folge sein (evtl. muss man man das noch zeigen)
Ist ein bisschen ausführlicher, weil ich heute nicht mehr nachbessern kann.
Schönen Sonntag
Gruß
Andreas
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Guten Morgen,
erstmal danke,dass ihr mir schon so sehr geholfen habt.allderdings hätte ich da noch eine Frage.Kann mir viellleicht jemand einen Tipp für die Aufgabe b) geben?bin da noch ratloser als bei der a).
schönen sonntag wünsch ich euch
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Di 20.06.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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