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Banachraum: Aufgabe/Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:17 Mi 31.10.2007
Autor: Johie

Aufgabe
Ist E ein Banachraum, so ist A:= L(E,E) bekanntlich ebenfalls ein Banachraum mit der Norm [mm] \parallel \varphi \parallel [/mm] = [mm] \sup_{\parallel x \parallel\le\{1}} \parallel \varphi [/mm] (x) [mm] \parallel [/mm] . Man zeige: Sind [mm] \varphi [/mm] , [mm] \psi \in [/mm] A , so ist [mm] \parallel \varphi \circ \psi \parallel \le \parallel \varphi \parallel \parallel \psi \parallel [/mm] .

Ich habe hier jetzt schon einen kleinen Ansatz, bin mir aber nicht sicher, ob dieser stimmt und bitte deshalb um eine eventuelle Verbesserung!

[mm] \parallel \varphi \circ \psi \parallel [/mm] = [mm] \sup_{\parallel x \parallel\le\{1}} \parallel \varphi (\psi(x)) \parallel [/mm]
[mm] \le \sup_{\parallel x \parallel\le\{1}} \parallel \varphi \parallel \parallel \psi(x) \parallel [/mm]
[mm] \le \sup_{\parallel x \parallel\le\{1}} \parallel \varphi \parallel \parallel \psi \parallel \parallel x\parallel [/mm]
= [mm] \parallel \varphi \parallel \parallel \psi \parallel [/mm]

[mm] \varphi [/mm] beschränkt [mm] \gdw \exists [/mm] c [mm] \in \IR^+ [/mm] : [mm] \parallel \varphi(x) \parallel \le [/mm] c * [mm] \parallel x\parallel [/mm]
[mm] \parallel \varphi \parallel [/mm] := [mm] \inf_{\parallel x \parallel =\{1}} [/mm] c

Ich hoffe, dass man die Rechnung so nachvollziehen kann. Ich bitte euch nun darum, dass ihr das mal Korrektur lest und mich auf mögliche Fehler hinweist!

Mit freundlichen Grüßen Johie

        
Bezug
Banachraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:32 Do 01.11.2007
Autor: MatthiasKr

Hi,
> Ist E ein Banachraum, so ist A:= L(E,E) bekanntlich
> ebenfalls ein Banachraum mit der Norm [mm]\parallel \varphi \parallel[/mm]
> = [mm]\sup_{\parallel x \parallel\le\{1}} \parallel \varphi[/mm] (x)
> [mm]\parallel[/mm] . Man zeige: Sind [mm]\varphi[/mm] , [mm]\psi \in[/mm] A , so ist
> [mm]\parallel \varphi \circ \psi \parallel \le \parallel \varphi \parallel \parallel \psi \parallel[/mm]
> .
>  Ich habe hier jetzt schon einen kleinen Ansatz, bin mir
> aber nicht sicher, ob dieser stimmt und bitte deshalb um
> eine eventuelle Verbesserung!
>  
> [mm]\parallel \varphi \circ \psi \parallel[/mm] = [mm]\sup_{\parallel x \parallel\le\{1}} \parallel \varphi (\psi(x)) \parallel[/mm]
>  
> [mm]\le \sup_{\parallel x \parallel\le\{1}} \parallel \varphi \parallel \parallel \psi(x) \parallel[/mm]
> [mm]\le \sup_{\parallel x \parallel\le\{1}} \parallel \varphi \parallel \parallel \psi \parallel \parallel x\parallel[/mm]
>  
> = [mm]\parallel \varphi \parallel \parallel \psi \parallel[/mm]
>  
> [mm]\varphi[/mm] beschränkt [mm]\gdw \exists[/mm] c [mm]\in \IR^+[/mm] : [mm]\parallel \varphi(x) \parallel \le[/mm]
> c * [mm]\parallel x\parallel[/mm]
>  [mm]\parallel \varphi \parallel[/mm] :=
> [mm]\inf_{\parallel x \parallel =\{1}}[/mm] c
>  
> Ich hoffe, dass man die Rechnung so nachvollziehen kann.
> Ich bitte euch nun darum, dass ihr das mal Korrektur lest
> und mich auf mögliche Fehler hinweist!
>  
> Mit freundlichen Grüßen Johie

von mir als altem funktionalanalytiker gibts dafuer ein [daumenhoch]. Mal im ernst: das sieht richtig aus. ;-)

gruss
matthias


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