Banachraum < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Hallo,
Man zeige dass [mm] (C,||.||_{\infty}) [/mm] wobei C die Menge aller komplexwertigen Folgen [mm] z_{n}n\in\IN [/mm] sind, ein Banachraum ist. |
Genügt es zu zeigen dass C abgeschlossen ist? falls C abgeschlossen ist wissen wir ja dass es ein Banachraum ist - denn C ist Teilmenge der komplexen Zahlen, welche sich mit [mm] \IR^{2} [/mm] identifizieren lassen und allg. ist ja [mm] \IR^{p} [/mm] versehen mit der Supremumsmetrik ein Banachraum.
Gruß
Thomas
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:29 So 21.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> Man zeige dass [mm](C,||.||_{\infty})[/mm] wobei C die Menge aller
> komplexwertigen Folgen [mm]z_{n}n\in\IN[/mm] sind, ein Banachraum
> ist.
Das ist Quatsch !
Ist C die Menge aller Folgen [mm] (z_n) [/mm] in [mm] \IC, [/mm] die beschränkt sind, so ist die Aussage richtig !
> Genügt es zu zeigen dass C abgeschlossen ist? falls C
> abgeschlossen ist wissen wir ja dass es ein Banachraum ist
> - denn C ist Teilmenge der komplexen Zahlen, welche sich
> mit [mm]\IR^{2}[/mm] identifizieren lassen und allg. ist ja [mm]\IR^{p}[/mm]
> versehen mit der Supremumsmetrik ein Banachraum.
C ist nicht Teilmenge von [mm] \IC, [/mm] sondern eine Menge die komplexwertige Folgen enthält, und zwar die beschränkten (wie ich oben schon vermutet habe)
FRED
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> Gruß
>
> Thomas
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> > Hallo,
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> > Man zeige dass [mm](C,||.||_{\infty})[/mm] wobei C die Menge aller
> > komplexwertigen Folgen [mm]z_{n}n\in\IN[/mm] sind, ein Banachraum
> > ist.
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> Das ist Quatsch !
>
> Ist C die Menge aller Folgen [mm](z_n)[/mm] in [mm]\IC,[/mm] die beschränkt
> sind, so ist die Aussage richtig !
>
Ja tut mir leid da fehlt natürlich: die Menge aller Folgen, welche konvergieren.
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> > Genügt es zu zeigen dass C abgeschlossen ist? falls C
> > abgeschlossen ist wissen wir ja dass es ein Banachraum ist
> > - denn C ist Teilmenge der komplexen Zahlen, welche sich
> > mit [mm]\IR^{2}[/mm] identifizieren lassen und allg. ist ja [mm]\IR^{p}[/mm]
> > versehen mit der Supremumsmetrik ein Banachraum.
>
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>
> C ist nicht Teilmenge von [mm]\IC,[/mm] sondern eine Menge die
> komplexwertige Folgen enthält, und zwar die beschränkten
> (wie ich oben schon vermutet habe)
>
> FRED
hmmm es bleibt weiterhin zu zeigen dass diese Menge C abgeschlossen ist. Eventuell indem ich eine Folge bastle , die diese [mm] z_{n} [/mm] als Glieder hat?
> >
> >
> > Gruß
> >
> > Thomas
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Gruß Thomas
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:59 Mo 22.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> > > Hallo,
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> > > Man zeige dass [mm](C,||.||_{\infty})[/mm] wobei C die Menge aller
> > > komplexwertigen Folgen [mm]z_{n}n\in\IN[/mm] sind, ein Banachraum
> > > ist.
> >
> > Das ist Quatsch !
> >
> > Ist C die Menge aller Folgen [mm](z_n)[/mm] in [mm]\IC,[/mm] die beschränkt
> > sind, so ist die Aussage richtig !
> >
> Ja tut mir leid da fehlt natürlich: die Menge aller
> Folgen, welche konvergieren.
> >
> > > Genügt es zu zeigen dass C abgeschlossen ist? falls C
> > > abgeschlossen ist wissen wir ja dass es ein Banachraum ist
> > > - denn C ist Teilmenge der komplexen Zahlen, welche sich
> > > mit [mm]\IR^{2}[/mm] identifizieren lassen und allg. ist ja [mm]\IR^{p}[/mm]
> > > versehen mit der Supremumsmetrik ein Banachraum.
> >
> >
> >
> > C ist nicht Teilmenge von [mm]\IC,[/mm] sondern eine Menge die
> > komplexwertige Folgen enthält, und zwar die beschränkten
> > (wie ich oben schon vermutet habe)
> >
> > FRED
>
> hmmm es bleibt weiterhin zu zeigen dass diese Menge C
> abgeschlossen ist. Eventuell indem ich eine Folge bastle ,
> die diese [mm]z_{n}[/mm] als Glieder hat?
Du hast immer noch nicht verstanden, worum es geht:
Es ist
[mm] $C:=\{(z_n): z_n \in \IC \quad \forall n \in \IN \quad und \quad (z_n) \quad konvergent \}.
[/mm]
Dieser Vektorraum wir mit der Norm
[mm] ||(z_n)||_{\infty}= [/mm] sup [mm] \{ |z_n|: n \in \IN \}
[/mm]
ausgestattet.
zeigen sollst Du, dass $(C, [mm] ||*||_{\infty})$ [/mm] ein Banachraum ist.
FRED
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> > > Gruß
> > >
> > > Thomas
> >
> Gruß Thomas
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:53 Do 25.04.2013 | | Autor: | Thomas_Aut |
okay ich habe jetzt noch ein bisschen über den Sachverhalt nachgedacht und würde folgendes vorschlagen:
Man kann auch auf direktem Weg zeigen, dass c vollstandig ist:
Sei (j )j2N eine Cauchy-Folge in c. Da die Elemente von c Folgen sind ist fur jedes j 2 N das
Element j eine konvergente Folge in C. Das bedeutet j = (z(j)
n )n2N, j 2 N, und jede dieser
Folgen (z(j)
n )n2N konvergiert in C. Die Tatsache, dass (j )j2N eine Cauchy-Folge ist bedeutet
8" > 0 9J 2 N : kj1 j2k1 < " 8j1; j2 J: (4)
Nach De nition der Norm k:k1 folgt
kj1 j2k1 =
(z(j1)
n )n2N (z(j2)
n )n2N
1 = sup
n2N
z(j1)
n z(j2)
n
:
Aussage (4) ist also gleichbedeutend mit
8" > 0 9J 2 N : sup
n2N
z(j1)
n z(j2)
n
< " 8j1; j2 J:
Daraus folgt aber jetzt, dass fur alle n 2 N gilt
8" > 0 9J 2 N :
z(j1)
n z(j2)
n
< " 8j1; j2 J;> > > > Hallo,
> > > >
> > > > Man zeige dass [mm](C,||.||_{\infty})[/mm] wobei C die Menge aller
> > > > komplexwertigen Folgen [mm]z_{n}n\in\IN[/mm] sind, ein Banachraum
> > > > ist.
> > >
> > > Das ist Quatsch !
> > >
> > > Ist C die Menge aller Folgen [mm](z_n)[/mm] in [mm]\IC,[/mm] die beschränkt
> > > sind, so ist die Aussage richtig !
> > >
> > Ja tut mir leid da fehlt natürlich: die Menge aller
> > Folgen, welche konvergieren.
> > >
> > > > Genügt es zu zeigen dass C abgeschlossen ist? falls C
> > > > abgeschlossen ist wissen wir ja dass es ein Banachraum ist
> > > > - denn C ist Teilmenge der komplexen Zahlen, welche sich
> > > > mit [mm]\IR^{2}[/mm] identifizieren lassen und allg. ist ja [mm]\IR^{p}[/mm]
> > > > versehen mit der Supremumsmetrik ein Banachraum.
> > >
> > >
> > >
> > > C ist nicht Teilmenge von [mm]\IC,[/mm] sondern eine Menge die
> > > komplexwertige Folgen enthält, und zwar die beschränkten
> > > (wie ich oben schon vermutet habe)
> > >
> > > FRED
> >
> > hmmm es bleibt weiterhin zu zeigen dass diese Menge C
> > abgeschlossen ist. Eventuell indem ich eine Folge bastle ,
> > die diese [mm]z_{n}[/mm] als Glieder hat?
>
> Du hast immer noch nicht verstanden, worum es geht:
>
> Es ist
>
> [mm]$C:=\{(z_n): z_n \in \IC \quad \forall n \in \IN \quad und \quad (z_n) \quad konvergent \}.[/mm]
>
> Dieser Vektorraum wir mit der Norm
>
> [mm]||(z_n)||_{\infty}=[/mm] sup [mm]\{ |z_n|: n \in \IN \}[/mm]
>
> ausgestattet.
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> zeigen sollst Du, dass [mm](C, ||*||_{\infty})[/mm] ein Banachraum
> ist.
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> FRED
ja richtig das soll ich zeigen. Ok also die Tatsache dass die Folgen [mm] z_{n} [/mm] konvergent sind liefert mir dass diese beschränkt sind. Insofern ist C eine Teilmenge, sogar ein Teilraum von [mm] l^{\infty} [/mm] also dem Raum aller beschränkten Folgen. Es ist klar dass [mm] l^{\infty} [/mm] versehen mit der Supremumsnorm ein Banachraum ist. Nun sagt mir mein Skript dass jeder abgeschlossene Teilraum eines Banachraums wieder ein Banachraum ist. Wenn ich also zeige dass C abgeschlossen ist folgt dass C Banachraum ist.
Und um die Abgeschlossenheit zu zeigen muss ich über Folgen argumentieren.
Ich habs mittlerweile eh schon hinbekommen... das einzige was etwas mühsam war , war die Überlegung zur gleichmäßigen Konvergenz die mir dann die Vertauschung der Limiten ermöglicht hat und so die Schlussfolgerung dass C abgeschlossen ist.
Lg und Dank
Thomas
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> > > > Gruß
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> > > > Thomas
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> > Gruß Thomas
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