Banachscher Fixpunktsatz < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:02 Mi 30.05.2007 | | Autor: | max3000 |
| Aufgabe | Zeigen sie mit dem Banachschen Fixpunktsatz:
Es gibt nur eine stetige Funktion [mm] f:[0,1]\to\IR, [/mm] die der Gleichung [mm] f(x)=x+\bruch{1}{2}sin(f(x)) [/mm] für alle [mm] x\in[0,1] [/mm] genügt. |
Hallo.
Ich kann mir nicht vorstellen, wie man jetzt den Fixpunktsatz anwenden kann um diese rekursive Gleichung zu lösen. Ich habe in Teilaufgabe a 3 Fehlerabschätzungen bewiesen, ich weiß nicht, ob und wie ich diese evtl. anwenden soll?
[mm] d(f(x),x*)\le\bruch{k}{1-k}d(f(x),x)
[/mm]
[mm] d(x_{n},x*)\le\bruch{k}{1-k}d(x_{n},x_{n-1})
[/mm]
[mm] d(x_{n},x*)\le\bruch{x^{n}}{1-k}d(x_{1},x_{0})
[/mm]
Wobei x* der Fixpunkt und [mm] f^{n}(x)=x_{n} [/mm] die n-te Iterierte ist.
Diese Gleichungen habe ich zur Auswahl und noch die Kontraktion
[mm] d(f(x),f(y))\le [/mm] kd(x,y)
und dies könnte man ja eventuell mit Mittelwertsatz abschätzen, doch da ist k>1, was ja nicht sein darf.
Bitte gebt mir mal einen kleinen Tip.
Schonmal vielen Dank.
Gruß
Max
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Hallo,
eine Frage zur Aufgabe:
ist f lediglich stetig, oder ist f stetig differenzierbar?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:18 Mi 30.05.2007 | | Autor: | max3000 |
Hier mal die komplette Aufgabe:
54. a) Sei (X, d) ein vollständiger metrischer Raum, [mm] g:X\to [/mm] X eine kontrahierende
Abbildung mit einer Kontraktionskonstanten [mm] k\in[0,1), x_{0}\in [/mm] X beliebig und
[mm] x_{n}:=g^{n}(x_{0}) [/mm] die n-te Iterierte. Nach dem Banach'schen Fixpunktsatz hat g genau einen Fixpunkt x*. Für diesen gelten folgende Fehlerabschätzungen:
d(g(x), x * [mm] )\le\bruch{k}{1-k}d(g(x), [/mm] x),
a posteriori [mm] d(x_{n}, x*)\le\bruch{k}{1-k}d(x_{n}, x_{n-1}),
[/mm]
a priori [mm] d(x_{n}, x*)\le\bruch{k^{n}}{1-k}d(x_{1}, x_{0}).
[/mm]
Beweisen Sie diese Ungleichungen.
b) Zeigen Sie mit dem Banach'schen Fixpunktsatz: Es gibt genau eine stetige Funktion
f:[0, [mm] 1]\to\IR, [/mm] die der Gleichung
[mm] f(x)=x+\bruch{1}{2}sin(f(x)) [/mm] für alle [mm] x\in[0, [/mm] 1] genügt.
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Hiho,
Betrachte die Funktion [mm]h: C^0 \to C^0[/mm] mit [mm]h(f) = id - 12sin(f)[/mm] und weise die Eigenschaften für den BFPS nach.
Dann gibt es gerade genau ein f, so dass [mm]h(f) = f = id - 12sin(f)[/mm]
Selbstabbildung ist net so schwer, das folgt aus der Definition von h.
Starke Kontraktion musst du bezüglich der Supremumsnorm zeigen.
Naja, den Rest solltest du hinbekommen 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:25 Do 31.05.2007 | | Autor: | max3000 |
Was meinst du mit Eigenschaften des BFPS?
Ist damit die Kontraktion gemeint, oder auch noch die 3 Ungleichungen oder auch noch die Stetigkeit? Ich weiß nicht genau was ich da jetzt zeigen muss und woraus ich überhaupt schlussfolgern kann, dass es so eine Funktion f gibt.
Ach ja: Du meinst sicherlich:
Es gibt eine Funktion [mm] h:C[0,1]\to [/mm] C[0,1]
mit [mm] h(f)=f=id+\bruch{1}{2}Sin(f)
[/mm]
Wenn ich jetzt die Kontraktion zeigen will fällt mir da ganz spontan der Mittelwertsatz ein:
[mm] d(h(f),h(g))\le(1+\bruch{1}{2}f'*cos(f))*d(f,g)\le [/mm] k*d(f,g)
Also muss jetzt gezeigt werden: [mm] 0<(1+\bruch{1}{2}f'*cos(f))<1
[/mm]
Bitte helft mir doch noch ein kleines bisschen.
Gruß
Max
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> Was meinst du mit Eigenschaften des BFPS?
> Ist damit die Kontraktion gemeint,
Hallo,
die Zutaten des Banachschen Fixpunktsatzes sind ein vollständiger metrischer Raum M und eine Kontraktion [mm] \varphi: [/mm] M -> M.
> Ich weiß nicht
> genau was ich da jetzt zeigen muss und woraus ich überhaupt
> schlussfolgern kann, dass es so eine Funktion f gibt.
>
> Ach ja: Du meinst sicherlich:
> Es gibt eine Funktion [mm]h:C^0[0,1]\to[/mm] [mm] C^0[0,1]
[/mm]
> mit [mm]h(f)=f=id+\bruch{1}{2}Sin(f)[/mm]
Ja, so ist das gemeint.
h ist aus dem Raum der auf [0,1] stetigen Funktionen, die in den Raum der auf [0,1] stetigen Funktionen abbilden.
Dieser Raum ist der Raum, in welchem sich die Sache abspielt, und man muß sich zunächst überlegen, ob es ein vollständiger metrischer Raum ist.
Wenn Du dann zeigen kannst, daß h kontrahiert, liefert Dir der Banachsche Fixpunktsatz die Existenz genau eines Fixpunktes.
Was sind die Punkte in diesem Fall? Stetige Funktionen auf [0,1].
> Wenn ich jetzt die Kontraktion zeigen will fällt mir da
> ganz spontan der Mittelwertsatz ein:
> [mm]d(h(f),h(g))\le(1+\bruch{1}{2}f'*cos(f))*d(f,g)\le[/mm]
> k*d(f,g)
Hier sehe ich Probleme:
wer sagt etwas davon, daß h differenzierbar ist?
Und, noch viel schlimmer - wie sollte die Differenzierbarkeit von h überhaupt definiert sein? (h ist keine Funktion [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR!)
[/mm]
Was meinst Du mit d(f,g)? (Über die Metrik, die Du hier verwenden mußt, hat Dir ja Gonozal_IX schon was geschrieben.)
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:32 Do 31.05.2007 | | Autor: | Gonozal_IX |
> Ach ja: Du meinst sicherlich:
> Es gibt eine Funktion [mm]h:C[0,1]\to[/mm] C[0,1]
> mit [mm]h(f)=f=id+\bruch{1}{2}Sin(f)[/mm]
Hiho,
nein, ich meinte schon, was ich schrieb
Deine Funktion h ist ja klar definiert, nämlich:
[mm]h(f) = id + \bruch{1}{2}sin(f)[/mm]
Der Banachsche Fixpunktsatz (kurz BFPS) liefert dir nun, daß so ein Fixpunkt f (!!) existiert, so dass gilt: h(f) = f und somit id + [mm] \bruch{1}{2}sin(f) [/mm] = f
Das ist ja genau das, was du zeigen wolltest.
Wie du die Eigenschaften für den BFPS überprüfst, hat dir ja Angela was zu gesagt. Solltest du da noch Fragen haben, poste da weiter 
Gruß,
Gono.
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> nein, ich meinte schon, was ich schrieb
Nicht ganz, denn Du hattest einen Tippfehler drin :...+12sin...
Darum ging es max3000, wenn ich es richtig erraten habe.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:10 Do 31.05.2007 | | Autor: | Gonozal_IX |
Ah danke, nicht gesehen
Ich dachte, es ging um die Existenzaussage, was nun existiert. Das h oder das f.
MfG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:19 Sa 02.06.2007 | | Autor: | max3000 |
Ich bin mit der Aufgabe immer noch nicht ganz fertig.
Also man muss zeigen:
1. (C[0,1], ||.||) ist ein Banachraum
2. Die Funktion [mm] h:C[0,1]\to [/mm] C[0,1] ist kontrahierend
1. haben wir in der letzten Übung schon mal bewiesen
2. Hab ich so gemacht:
[mm] h(f)=f=id+\bruch{1}{2}Sin(f)
[/mm]
Jetzt finde ich eine Kontraktionskonstante:
[mm] ||h(f)-h(g)||=||id+\bruch{1}{2}sin(f)-id-\bruch{1}{2}sin(g)||
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}||sin(f)-sin(g)||
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}sup\{sin(f)-sin(g);||f||,||g||\le1\}=1
[/mm]
Bei dem letzten Schritt bin ich mir jetzt nicht ganz sicher, ob die Supremumsnorm richtig angewendet ist.
Ich wollte ja eigentlich auf [mm] \le [/mm] k||f-g|| kommen (mit [mm] k\in[0,1) [/mm] ).
Kann mir jemand sagen, welcher Schritt falsch ist, und wie es richtig geht?
Gruß
Max
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Hiho,
> [mm]||h(f)-h(g)||=||id+\bruch{1}{2}sin(f)-id-\bruch{1}{2}sin(g)||[/mm]
> [mm]=\bruch{1}{2}||sin(f)-sin(g)||[/mm]
> [mm]=\bruch{1}{2}sup\{sin(f)-sin(g);||f||,||g||\le1\}=1[/mm]
wo hast du im dritten Schritt das id gelassen?
Insofern ist da schon nen Fehler drin, allerdings glaub ich nicht, daß dies auf direktem Wege klappt, wie du es dir vorstellst.
Ich hatte auch ein bisschen rumprobiert und bin auf so auch nicht auf eine Lösung gekommen, sondern du musst einen anderen Weg wählen.
Ich denke du weisst, was Lipschitzstetig heisst:
Eine Funktion [mm]f: \IR \to \IR[/mm] heisst Lipschitz-stetig, wenn ein [mm]L \ in \IR[/mm] existiert, so das gilt:
[mm]|f(x) - f(y)| \le L|x-y|[/mm]
Man kann zeigen, dass gilt:
[mm]|f'(x)| \le L, \forall x[/mm]
Für die Lipschitzkonstante (also die kleinste Konstante L, für die f noch Lipschitz-stetig ist), gilt sogar:
[mm]\sup_{x}|f'(x)| = L[/mm] (Beachte (für unten): Wir benutzen hierbei [mm]f'(x)[/mm] = Die Ableitung von f NACH x um eine Lipschitzkonstante zu bekommen, für die f IN x Lipschitz-stetig ist)
Die ganze Sache gilt auch für abstrakte Räume, wie z.B. C.
In deinem Beispiel heisst h(f) also Lipschitzstetig IN f, wenn ein [mm]L \in \IR[/mm] existiert, so dass:
[mm]||h(f) - h(g)|| \le L||f-g||[/mm]
mit
[mm]L = ||\bruch{\partial h}{\partial f}||_\infty[/mm] (Vergleich hier mit oben: Die Ableitung von h NACH f um eine Lipschitzkonstante zu bekommen, damit h IN f Lipschitz-stetig.)
Es gilt also:
[mm]L = ||\bruch{\partial h}{\partial f}||_\infty [/mm]
[mm]= ||\bruch{1}{2}cos(f)||_\infty [/mm]
[mm]= \bruch{1}{2}||cos(f)||_\infty[/mm]
[mm] = \bruch{1}{2} * 1 = \bruch{1}{2}[/mm]
Somit ist h also Lipschitz stetig in f mit Lipschitz-konstante [mm] \bruch{1}{2}, [/mm] folglich gilt:
[mm]||h(f) - h(g)|| \le \bruch{1}{2}||f-g||[/mm]
und damit hast du dein [mm]k \in [0,1)[/mm] und h ist stark kontrahierend.
MfG,
Gono.
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(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 13:15 Sa 02.06.2007 | | Autor: | max3000 |
Ok, also doch mit Mittelwertsatz.
Diese Idee hatte ich eigentlich schon verworfen, weil Angela desswegen schon mit mir geschimpft hat. Aber klar, wir leiten ja h ab.
Danke an alle die sich hier beteiligt haben.
Ich denke jetzt ist alles klar.
Gruß
Max
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