Banachscher Fixpunktsatz < Nichtlineare Gleich. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:22 Sa 05.03.2005 | | Autor: | Sasia |
Hallo,
ich hätte nochmal eine Frage Frage in Bezug auf die Lifschitz-Konstante bein Banachschen Fixpunktsatz.
Dieser besagt:
f sei auf [a, b] stetig.
Wenn:
1. für beliebiges x [mm] \subseteq [/mm] [a, b] auch f(x) [mm] \subseteq [/mm] [a,b] ist, und
2. es eine Konstante 0 < L < 1 gibt, sodass für beliebiges [mm] x_{1}, x_{2} \subseteq[a,b] [/mm] gilt:
[mm] |f(x_{1})-f(x_{2})| \le L|x_{1}-x_{2}|
[/mm]
dann besitz x=f(x) genau einen Fixpunkt in [a,b] gegen den die Iterationsfolge [mm] x_{n+1}=f(x_{n}), [/mm] n=0, 1, 2, ... für jeden Startwert [mm] x_{0}\subseteq[a,b] [/mm] konvergiert.
Welchen Wert nimmt dabei L, also die Liftschitzkonstante an?
Ist es richtig, das L= |f'(x)| ist? Und wenn dies nicht so ist, wie kann ich dann L ermitteln?
Gruß
Saskia
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:57 Sa 05.03.2005 | | Autor: | andreas |
hi
estmal ein paar hinweise auf schreibweisen: der gute mann hieß lipschitz (siehe ![[]](/images/popup.gif) hier) und man schreibet auch [m] x \red{\in} [a,b] [/m] (einfach mal auf die grafik klicken, dann siehst du denn quelltext). ok, genug der besserwisserei.
> ich hätte nochmal eine Frage Frage in Bezug auf die
> Lifschitz-Konstante bein Banachschen Fixpunktsatz.
>
> Dieser besagt:
> f sei auf [a, b] stetig.
>
> Wenn:
>
> 1. für beliebiges x [mm]\subseteq[/mm] [a, b] auch f(x) [mm]\subseteq[/mm]
> [a,b] ist, und
> 2. es eine Konstante 0 < L < 1 gibt, sodass für beliebiges
> [mm]x_{1}, x_{2} \subseteq[a,b][/mm] gilt:
> [mm]|f(x_{1})-f(x_{2})| \le L|x_{1}-x_{2}|
[/mm]
>
> dann besitz x=f(x) genau einen Fixpunkt in [a,b] gegen den
> die Iterationsfolge [mm]x_{n+1}=f(x_{n}),[/mm] n=0, 1, 2, ... für
> jeden Startwert [mm]x_{0}\subseteq[a,b][/mm] konvergiert.
ok.
> Welchen Wert nimmt dabei L, also die Liftschitzkonstante
> an?
> Ist es richtig, das L= |f'(x)| ist? Und wenn dies nicht so
> ist, wie kann ich dann L ermitteln?
wenn die funktion $f: [a, b] [mm] \longrightarrow \mathbb{R}$ [/mm] differenzierbar ist, kann man $L$ meist gut mit der ableitung abschätzen. nach dem mittelwertsatz der differentialrechnung gilt nämlich
[m] \frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2} = f'(c) [/m]
für [mm] $x_1, x_2 \in [/mm] [a,b], [mm] \; x_1 \not= x_2$ [/mm] und ein geeignetes $c$ zwischen [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$. [/mm] daraus folgt
[m] |f(x_1) - f(x_2)| = |f'(c)| |x_1 - x_2| [/m].
wenn man nun von der konkreten wahl von [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] unabhängig werden will kann man nun die abschätzung $|f'(c)| [mm] \leq \max_{x \in [a,b]} [/mm] |f'(x)|$ für alle $c [mm] \in [/mm] [a, b]$ verwenden und erhält somit
[m] |f(x_1) - f(x_2)| \leq \max_{x \in [a,b]} |f'(x)| |x_1 - x_2| [/m]
für alle [mm] $x_1, x_2 \in [/mm] [a,b]$ und somit mit $L := [mm] \max_{x \in [a,b]} [/mm] |f'(x)| $ eine lipschitz-konstante für die funktion auf diem betrachteten intervall. ist diese kleiner als $1$, so hat man eine kontraktion vorliegen und kann gegenenfalls den banachschen-fixpunktsatz anwenden.
im fall, dass $f$ nicht differenzierbar ist, ist die situation schon etwas komplizierter und man muss sich irgendetwas anderes ausdenken (manchmal hilft es das intervall in teilintervalle aufzuteilen, auf denen die funktion differenzierbar ist und dann dort obige abschätzung anzuwenden).
vor kurzem wurde auch hier eine frage zur anwendung des banachschen-fixpunktsatz gestellt - kannst du dir ja mal anschauen, wenn du willst.
wenn noch irgend etwas unklar sein sollte kannst du dich ja nochmal melden.
grüße
andreas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:31 Sa 05.03.2005 | | Autor: | Sasia |
Hi,
also, jetzt ahbe ich es verstanden! Dankeschön!
Und auch vielen Dank für den Hinweis zur Schreibweise ;)!
Gruß
Saskia
|
|
|
|
