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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:31 Mo 20.07.2009 | | Autor: | daN-R-G |
| Aufgabe | Sei [mm]g: \IR^2 \rightarrow \IR^2[/mm] mit [mm]g(x_1,x_2) = \frac{1}{6} \pmat{ x_1x_2 + cx_1 -1 \\ x_1^2 - x_2 +1}[/mm]
a) Für welche c [mm] \in \IR^+ [/mm] sind die Voraussetzungen des Banach'schen Fixpunktsatzes auf der Menge D = [-1,1] [mm] \times [/mm] [-1,1] erfüllt?
b) Berechnen Sie für c = 1 die erste Iterierte [mm] x^1 [/mm] = [mm] (x_1^1, x_2^1)^T [/mm] = [mm] g(x^0) [/mm] mit [mm] x^0 [/mm] = [mm] (0,0)^T. [/mm] Wieviele Schritte der Fixpunkiteration [mm] x^{k+1} [/mm] = [mm] g(x^k), [/mm] k = 0, 1, ...
sind erforderlich um den Fixpunkt mit einer Genauigkeit von [mm] 10^{-3} [/mm] zu bestimmen? |
Hallo!
Ich bin gerade an dieser Aufgabe von ner Probeklausur zu Gange, bin mir aber an einigen Stellen noch etwas unsicher.
Zum Aufgabenteil a)
Die Voraussetzungen des Fixpunktsatzes sind ja
- D ist abgeschlossen (ist nach Analysis klar)
- g ist eine Selbstabbilgung, also g(D) [mm] \subset [/mm] D
- g ist eine Kontraktion, also es gibt ein 0 [mm] \leq \Theta [/mm] < 1 mit [mm] \Vert [/mm] g(x) - g(y) [mm] \Vert \leq \Theta \Vert [/mm] x -y [mm] \Vert \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] D
Um nun bei 2. mein c zu bestimmen, reicht es ja eigentlich, nach der ersten Komponente nach oben bzw. nach unten abzuschätzen.
[mm] g(x_1,x_2)_1 [/mm] = [mm] \frac{1}{6}(x_1x_2 [/mm] + [mm] cx_1 [/mm] -1) [mm] \leq \frac{1}{6}(1 [/mm] + c - 1) [mm] \Rightarrow [/mm] c [mm] \leq [/mm] 6
[mm] g(x_1,x_2)_1 [/mm] = [mm] \frac{1}{6}(x_1x_2 [/mm] + [mm] cx_1 [/mm] -1) [mm] \geq \frac{1}{6}(-1 [/mm] - c - 1) [mm] \Rightarrow [/mm] c [mm] \leq [/mm] 4
Zusammen gesehen muss also [mm]c \in \IR^+, c \leq 4[/mm] gelten. Könnte ich das so wohl argumentieren?
Nun muss aber auch noch 3 gelten.
Nach Vorlesung gilt, falls D konvex und g stetig diffbar (was ich nach Analysis jetzt einfach mal so Bejahe), so ist
[mm]\Theta := \underset{z \in D}{\sup} \Vert g'(z) \Vert_{\infty}[/mm] also [mm] J_g(x) [/mm] = [mm] \pmat{ \frac{x_2}{6} & \frac{x_1+c}{6} \\ \frac{2x_1}{6} & -\frac{1}{6} } \Rightarrow \Vert \pmat{ \frac{x_2}{6} & \frac{x_1+c}{6} \\ \frac{2x_1}{6} & -\frac{1}{6} } \Vert_{\infty} \leq \Vert \pmat{ \frac{1}{6} & \frac{1+c}{6} \\ \frac{2}{6} & -\frac{1}{6} } \Vert_{\infty}
[/mm]
Das [mm] \Theta [/mm] ist nun aber nur echt kleiner als 1 (damit g eine Kontraktion ist), wenn c echt kleiner als 4 ist.
Bedeutet das nun letztendlich, dass insgesamt gelten muss [mm]0 < c < 4[/mm]?
Zum Aufgabenteil b)
Um die erste Iterierte zu berechnen muss ich ja nur einsetzen und bekomme herraus [mm] (-\frac{1}{6}, \frac{1}{6})^T
[/mm]
Muss ich jetzt also nun zuerst das [mm] \Theta [/mm] berechnen, indem ich das geforderte c oben einsetze, und damit [mm] \Theta [/mm] = [mm] \frac{3}{6} [/mm] herausbekomme?
Wir haben nämlich noch eine Formel, nach der die Anzahl der Iterationen berechnet werden können.
[mm]k \geq \frac{\log (\frac{\epsilon(1-\theta)}{\Vert x^1-x^0 \Vert})}{\log(\theta)}[/mm]
Wenn ich nun alle Werte in die Formel einsetze (mit der Genauigkeit von [mm] 10^{-3}) [/mm] und durch Matlab jage, bekomme ich herraus, dass k [mm] \geq [/mm] 8.3808, also mehr als 8 Iterationen benötigt werden.
Könnte das ganze wohl so richtig sein?
VIelen Dank, falls sich das einer anschauen sollte! :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Mi 22.07.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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