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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:10 Di 06.02.2007 | | Autor: | diego |
Guten Morgen,
wie bestimme ich eine Basis?
Wie kann ich die Basis von Kern(f) und Bild(f) bestimmen?
Ich habe mir mehrere Aufgaben angeschaut, suche aber - wenn es sowas gibt - einen Ansatz den ich immer anwenden kann, so eine Art Faustregel.
Vielen Dank,
diego
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:52 Di 06.02.2007 | | Autor: | Zebi |
1. Möglichkeit: du beginnst mit einem endlichen Erzeugendensystem und lässt der Reihe nach Vektoren weg, die im Erzeugnis der übrigen liegen, bis du ein linear unabhängiges, also minimales Erzeugendensystem hast.
2. Möglichkeit: du beginnst mit einem linear unabhängigen System und fügst der Reihe nach Vektoren hinzu, so dass das erweiterte System wieder linear unabhängig ist. Sobald der Vorgang terminiert hast du ein maximal linear unabhängiges System.
Der Steinische Austauschsatz sagt, dass für endlich erzeugte VR beide Verfahren funktionieren und eine Basis liefern.
Eine Basis des Bildes einer linearen Abbildung findet sich leicht bei gegebener Matrixdarstellung. Die Spalten der Matrix sind Erzeugendensystem des Bildes, also musst du (z.B. mit Hilfe des Gaußalgorithmus) "überflüssige" Vektoren entfernen.
Eine Basis des Kerns einer linearen Abbildung liest man am leichtesten in der strikten Stufenform der zugehörigen Matrix ab. Wegen Dim(V) = Dim(Kern)+Dim(Bild) benötigst du genau so viele linear unabhängige Vektoren aus dem Kern, wie du Nichtstufenindizes hast. Dazu wählst du genau die Nichtstufenindizes und linearkombinierst sie zu 0.
Beispiel:
[mm] \pmat{ 1 & 3 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 7 }
[/mm]
Hier sind die Nichtstufenindizes 2 und 4, man liest sofort ab, dass die 2. Spalte = 3*1.Spalte ist und die 4. Spalte 2*1.Spalte 7*3.Spalte.
Man erhält als Basis des Kernes [mm] (\vektor{-3 \\ 1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{-2 \\ 0 \\ -7 \\ 1}).
[/mm]
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