Basen eines R5-Unterraums < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm]B := \pmat{ 1 & -3 & 2 & 2 & -2 \\
0 & 3 & 6 & 0 & 9 \\
2 & -3 & -2 & 4 & 2 \\
3 & -6 & 0 & 6 & -4 \\
-2 & 9 & 2 & -4 & -5 } [/mm] .
Bestimmen Sie Basen für den Unterraum [mm]L(B|0)[/mm] des [mm]\IR^5[/mm] . |
Hallo zusammen,
ich werde hier leider aus der Aufgabenstellung nicht schlau. Was bedeutet die Notation [mm]L(B|0)[/mm] ? In meinen Mitschriften konnte ich dazu nichts finden. Ich kenne [mm](B|0)[/mm] als Schreibweise für eine erweiterte Koeffizientenmatrix, in diesem Fall basierend auf ein homogenes Gleichungssystem.
Aber das hat mit einem Untervektorraum ja nur bedingt etwas zu tun.
Könnt Ihr mir erklären, was hier gefragt ist?
Viele Grüße
Patrick
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> Sei [mm]B := \pmat{ 1 & -3 & 2 & 2 & -2 \\
0 & 3 & 6 & 0 & 9 \\
2 & -3 & -2 & 4 & 2 \\
3 & -6 & 0 & 6 & -4 \\
-2 & 9 & 2 & -4 & -5 }[/mm]
> .
>
> Bestimmen Sie Basen für den Unterraum [mm]L(B|0)[/mm] des [mm]\IR^5[/mm] .
Hallo,
Du sollst eine Basis des Lösungsraumes von
[mm] B*\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5}=\vektor{0\\0\\0\\0\\0}
[/mm]
sagen,
und eine solche kannst Du in der Tat bestimmen, indem Du erstmal die erweiterte Koeffizientenmatrix (B|0) aufstellst und diese in ZSF bringst.
LG Angela
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Hallo Angela,
> Du sollst eine Basis des Lösungsraumes von
>
> [mm]B*\vektor{x_1\\
x_2\\
x_3\\
x_4\\
x_5}=\vektor{0\\
0\\
0\\
0\\
0}[/mm]
>
> sagen,
>
> und eine solche kannst Du in der Tat bestimmen, indem Du
> erstmal die erweiterte Koeffizientenmatrix (B|0) aufstellst
> und diese in ZSF bringst.
besten Dank – dann weiß ich schonmal, was hier gefragt ist.
Ich komme auf
[mm](B|0) = \left( \begin {array}{ccccc|c} 1&-3&2&2&-2&0 \\
0&3&6&0&9&0 \\
0&0&-12&0&-3&0 \\
0&0&0&0&-4&0 \\
0&0&0&0&0&0 \end {array} \right) [/mm]
Allerdings besitzt dieses System nur eine Lösung, nämlich [mm]x=0[/mm].
Der Nullvektor ist allerdings linear abhängig, also keine Basis.
Was nun?
Viele Grüße
Patrick
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Hallo Apfelchips,
> Hallo Angela,
>
> > Du sollst eine Basis des Lösungsraumes von
> >
> > [mm]B*\vektor{x_1\\
x_2\\
x_3\\
x_4\\
x_5}=\vektor{0\\
0\\
0\\
0\\
0}[/mm]
>
> >
> > sagen,
> >
> > und eine solche kannst Du in der Tat bestimmen, indem Du
> > erstmal die erweiterte Koeffizientenmatrix (B|0) aufstellst
> > und diese in ZSF bringst.
>
> besten Dank – dann weiß ich schonmal, was hier gefragt
> ist.
> Ich komme auf
>
> [mm](B|0) = \left( \begin {array}{ccccc|c} 1&-3&2&2&-2&0 \\
0&3&6&0&9&0 \\
0&0&-12&0&-3&0 \\
0&0&0&0&-4&0 \\
0&0&0&0&0&0 \end {array} \right)[/mm]
>
> Allerdings besitzt dieses System nur eine Lösung, nämlich
> [mm]x=0[/mm].
>
> Der Nullvektor ist allerdings linear abhängig, also keine
> Basis.
>
> Was nun?
>
Die erste und vierte Spalte sind linear abhängig voneinander.
Mit dieser Kenntnis läßt sich eine Basi angeben.
> Viele Grüße
> Patrick
>
Gruss
MathePower
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Hallo MathePower,
> > [mm](B|0) = \left( \begin {array}{ccccc|c} 1&-3&2&2&-2&0 \\
0&3&6&0&9&0 \\
0&0&-12&0&-3&0 \\
0&0&0&0&-4&0 \\
0&0&0&0&0&0 \end {array} \right)[/mm]
>
> Die erste und vierte Spalte sind linear abhängig
> voneinander.
> Mit dieser Kenntnis läßt sich eine Basi angeben.
kannst Du das ein wenig näher erläutern? Es müsste hier doch eine Basis in der Form [mm]E = \left \{ v_1,v_2,v_3,v_4 \right \}[/mm] geben, oder?
Viele Grüße
Patrick
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:31 Sa 19.01.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
deine Beh. die einzige Lösung sei x=0 ist falsch dazu sieeh dir x1 und [mm] x_4 [/mm] an, und damit die Abh, der 1ten und 4 ten Spalte
gruss leduart
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Hallo leduart,
> deine Beh. die einzige Lösung sei x=0 ist falsch dazu
> sieeh dir x1 und [mm]x_4[/mm] an, und damit die Abh, der 1ten und 4
> ten Spalte
[mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm] sind linear abhängig, das sehe ich inzwischen ein. Linear abhängige Vektoren können nicht Bestandteil einer Basis sein.
Aber warum kann ich mit dieser Kenntnis jetzt eine Basis angeben?
Die Dimension der linearen Hülle der Menge aller Vektoren, welche eine Basis darstellen, muss ja gleich der Dimension des Vektorraums sein, hier also gleich 5.
Aus der Matrix [mm]B[/mm] in ZSF kann ich ablesen, dass es 5 minus die zwei ausgeschlossenen (da linear abhängigen) Vektoren = 3 Vektoren gibt, die ich in die Basis packen kann. Das reicht aber nicht aus.
Warum kann ich jetzt trotzdem schon eine Basis angeben?
Viele Grüße
Patrick
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Hallo,
wir hatten [mm] B := \pmat{ 1 & -3 & 2 & 2 & -2 \\
0 & 3 & 6 & 0 & 9 \\
2 & -3 & -2 & 4 & 2 \\
3 & -6 & 0 & 6 & -4 \\
-2 & 9 & 2 & -4 & -5 } [/mm],
und Du sollst eine Basis des Lösungsraumes von B*x=0 sagen, oder anders ausgedrückt: eine Basis von KernB angeben.
Dazu hattest Du die erweiterte Koeffizientenmatrix durch Zeilenumformungen auf ZSF gebracht:
[mm] (B|0)-->\left( \begin {array}{ccccc|c} \red{1}&-3&2&2&-2&0 \\
0&\red{3}&6&0&9&0 \\
0&0&\red{-12}&0&-3&0 \\
0&0&0&0&\red{-4}&0 \\
0&0&0&0&0&0 \end {array} \right) [/mm].
(Die Richtigkeit habe ich nicht geprüft, ich gehe jetzt davon aus, daß alles i.O. ist.)
> [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm] sind linear abhängig, das sehe ich inzwischen
> ein.
???
Ich bin gerade etwas ratlos. Was sind bei Dir [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2?
[/mm]
Bei mir sind's die Komponenten von [mm] x:=\vektor{x_1\\\vdots\\x_5}.
[/mm]
Oder redest Du von der 1. und 2. Spalte der Ursprungsmatrix?
Aber die sind auch nicht linear abhängig...
> Linear abhängige Vektoren können nicht Bestandteil
> einer Basis sein.
Wenn zwei Vektoren linear abhängig sind, können nicht beide in einer Basis enthalten sein.
>
> Aber warum kann ich mit dieser Kenntnis jetzt eine Basis
> angeben?
>
> Die Dimension der linearen Hülle der Menge aller Vektoren,
> welche eine Basis darstellen, muss ja gleich der Dimension
> des Vektorraums sein, hier also gleich 5.
Hm.Irgendwie weiß ich im Moment gar nicht, worüber Du redest.
Wir suchen doch eine Basis des Lösungsraumes von Bx=0.
Dir ist aber schon klar, daß, wenn in einer Menge Spaltenvektoren mit 5 Einträgen enthalten sind und sich diese Menge als VR entpuppt, dessen Dimension nicht unbedingt =5 ist, oder?
> Aus der Matrix [mm]B[/mm] in ZSF kann ich ablesen, dass es 5 minus
> die zwei ausgeschlossenen (da linear abhängigen) Vektoren
> = 3 Vektoren gibt, die ich in die Basis packen kann.
Nee.
Die Matrix B hat den Rang 4, dh. ihre Spalten spannen einen 4-dimensionalen UVR des [mm] \IR^5 [/mm] auf.
Eine Basis des von den Spalten aufgespannten Raumes, des Bildes der Matrix, wären z.B. die Vektoren, die in der 1.,2.,3.,5.Spalte der Ursprungsmatrix stehen.
Man erkennt dies daran, daß die führenden Elemente der Nichtnullzeilen (rot) der ZSF in der 1.,2.,3.,5.Spalte stehen.
Nun das Kochrezept für die Lösung von LGSen bzw. Bestimmung des Kerns:
Die Variablen der Spalten der Koeffizientenmatrix, in denen in der ZSF kein führendes Zeilenelement steht, kann man frei wählen.
Hier: wir können die 4. Variable frei wählen.
Mit
[mm] x_4:=t
[/mm]
erhalten wir aus Zeile 4
[mm] x_5=0,
[/mm]
aus Zeile 3
[mm] -12x_3-3x_5=0, [/mm] also
[mm] x_3=0
[/mm]
aus Zeile 2
[mm] 3x_2+6x_3-3x_5=0, [/mm] also
[mm] x_2=0,
[/mm]
aus Zeile 1
[mm] x_1-3x_2+2x_3+2x_4-2x_5=0, [/mm] also [mm] x_1+2t=0, [/mm] dh.
[mm] x_1=-2t.
[/mm]
Damit wissen wir:
Alle Lösungen [mm] x:=\vektor{x_1\\\vdots\\x_5} [/mm] von Bx=0 haben die Gestalt
[mm] x=\vektor{x_1\\\vdots\\x_5}=\vektor{-2t\\0\\0\\t\\0}=t*\vektor{-2\\0\\0\\1\0}.
[/mm]
Damit ist der Vektor [mm] \vektor{-2\\0\\0\\1\0} [/mm] eine Basis des Lösungsraumes von Bx=0.
LG Angela
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Hallo Angela,
> > [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm] sind linear abhängig, das sehe ich inzwischen
> > ein.
>
> ???
da hatte ich mich vertippt (sorry): [mm]x_1[/mm] und [mm]x_4[/mm] sind linear abhängig – damit meine ich die Vektoren in der ersten und vierten Spalte.
(Aus der ersten Zeile der Matrix kann ich ja die Gleichung [mm]x_1-3x_2+2x_3+2x_4-2x_5 = 0[/mm] basteln.)
> > Linear abhängige Vektoren können nicht Bestandteil
> > einer Basis sein.
>
> Wenn zwei Vektoren linear abhängig sind, können nicht
> beide in einer Basis enthalten sein.
Vielen Dank, dass Du das noch einmal klargestellt hast!
Ich glaube, das ist die Grundlege für meine falschen Überlegungen.
> >
> > Aber warum kann ich mit dieser Kenntnis jetzt eine Basis
> > angeben?
> >
> > Die Dimension der linearen Hülle der Menge aller Vektoren,
> > welche eine Basis darstellen, muss ja gleich der Dimension
> > des Vektorraums sein, hier also gleich 5.
>
> Hm.Irgendwie weiß ich im Moment gar nicht, worüber Du
> redest.
> Wir suchen doch eine Basis des Lösungsraumes von Bx=0.
Vielleicht hab ich das etwas merkwürdig formuliert. Ich wollte ausdrücken, dass für eien Basis [mm]Dim(V) = Dim(\langle v_1, ..., v_n \rangle)[/mm] gelten muss und alle Vektoren linear unabhängig sein müssen.
> Dir ist aber schon klar, daß, wenn in einer Menge
> Spaltenvektoren mit 5 Einträgen enthalten sind und sich
> diese Menge als VR entpuppt, dessen Dimension nicht
> unbedingt =5 ist, oder?
Die Einträge der Spaltenvektoren sagen nichts über die Dimension des Vektorraums aus, wohl aber die Dimension der linearen Hülle der Vektoren (siehe oben). Korrigiere mich gerne, wenn ich da falsch liege.
> > Aus der Matrix [mm]B[/mm] in ZSF kann ich ablesen, dass es 5 minus
> > die zwei ausgeschlossenen (da linear abhängigen) Vektoren
> > = 3 Vektoren gibt, die ich in die Basis packen kann.
>
> Nee.
>
> Die Matrix B hat den Rang 4, dh. ihre Spalten spannen einen
> 4-dimensionalen UVR des [mm]\IR^5[/mm] auf.
> Eine Basis des von den Spalten aufgespannten Raumes, des
> Bildes der Matrix, wären z.B. die Vektoren, die in der
> 1.,2.,3.,5.Spalte der Ursprungsmatrix stehen.
> Man erkennt dies daran, daß die führenden Elemente der
> Nichtnullzeilen (rot) der ZSF in der 1.,2.,3.,5.Spalte
> stehen.
Einverstanden. 
> Nun das Kochrezept für die Lösung von LGSen bzw.
> Bestimmung des Kerns:
> Die Variablen der Spalten der Koeffizientenmatrix, in
> denen in der ZSF kein führendes Zeilenelement steht, kann
> man frei wählen.
> Hier: wir können die 4. Variable frei wählen.
>
> Mit
> [mm]x_4:=t[/mm]
>
> erhalten wir aus Zeile 4
> [mm]x_5=0,[/mm]
>
> aus Zeile 3
> [mm]-12x_3-3x_5=0,[/mm] also
> [mm]x_3=0[/mm]
>
> aus Zeile 2
> [mm]3x_2+6x_3-3x_5=0,[/mm] also
> [mm]x_2=0,[/mm]
>
> aus Zeile 1
> [mm]x_1-3x_2+2x_3+2x_4-2x_5=0,[/mm] also [mm]x_1+2t=0,[/mm] dh.
> [mm]x_1=-2t.[/mm]
>
> Damit wissen wir:
>
> Alle Lösungen [mm]x:=\vektor{x_1\\
\vdots\\
x_5}[/mm] von Bx=0 haben
> die Gestalt
>
> [mm]x=\vektor{x_1\\
\vdots\\
x_5}=\vektor{-2t\\
0\\
0\\
t\\
0}=t*\vektor{-2\\
0\\
0\\
1\0}.[/mm]
>
> Damit ist der Vektor [mm]\vektor{-2\\
0\\
0\\
1\0}[/mm] eine Basis des
> Lösungsraumes von Bx=0.
Danke, das konnte ich gut nachvollziehen.
Wenn ich jetzt also mehrere Basen haben will (in der Aufgabenstellung ist von "Bestimmen Sie Basen" die Rede – was ich als sehr unpräzise empfinde: Sind 2,3,4 oder gar 100 Basen gefragt?), dann kann ich zum Beispiel noch [mm]\vektor{-4 \\
0 \\
0 \\
2}[/mm] dazunehmen.
Viele Grüße
Patrick
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> da hatte ich mich vertippt (sorry): [mm]x_1[/mm] und [mm]x_4[/mm] sind linear
> abhängig – damit meine ich die Vektoren in der ersten
> und vierten Spalte.
>
> (Aus der ersten Zeile der Matrix kann ich ja die Gleichung
> [mm]x_1-3x_2+2x_3+2x_4-2x_5 = 0[/mm] basteln.)
Hallo,
dann sind die [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_4, [/mm] über welche Du oben redest, etwas völlig anderes als die Variablen Deiner Gleichung.
Gut, wenn Dir das klar war oder ist.
> > > Die Dimension der linearen Hülle der Menge aller Vektoren,
> > > welche eine Basis darstellen, muss ja gleich der Dimension
> > > des Vektorraums sein, hier also gleich 5.
> >
> > Hm.Irgendwie weiß ich im Moment gar nicht, worüber Du
> > redest.
> > Wir suchen doch eine Basis des Lösungsraumes von Bx=0.
>
> Vielleicht hab ich das etwas merkwürdig formuliert. Ich
> wollte ausdrücken, dass für eien Basis [mm]Dim(V) = Dim(\langle v_1, ..., v_n \rangle)[/mm]
> gelten muss und alle Vektoren linear unabhängig sein
> müssen.
Wenn ich das mal in etwas übersetze, was mir verständlich ist: wenn [mm] (v_1,...,v_n) [/mm] eine Basis eines VRes V ist, dann erzeugen diese Vektoren V. Es ist dann [mm] V=, [/mm] und daher ist [mm] dim(V)=dim().
[/mm]
Wenn wenn [mm] (v_1,...,v_n) [/mm] eine Basis eines VRes V ist, dann sind die n-Vektoren linear unabhängig,
und wenn [mm] (v_1,...,v_n) [/mm] eine Basis von V ist, denn ist dimV=n.
>
>
> > Dir ist aber schon klar, daß, wenn in einer Menge
> > Spaltenvektoren mit 5 Einträgen enthalten sind und sich
> > diese Menge als VR entpuppt, dessen Dimension nicht
> > unbedingt =5 ist, oder?
>
> Die Einträge der Spaltenvektoren sagen nichts über die
> Dimension des Vektorraums aus, wohl aber die Dimension der
> linearen Hülle der Vektoren (siehe oben). Korrigiere mich
> gerne, wenn ich da falsch liege.
Ich weiß nicht, ob wir gerade aneinander vorbeireden:
Es ist z.B. [mm] U:=<\vektor{1\\2\\3\\4\\5\\6\\7}> [/mm] ein UVR des 7-dimensionalen VRes [mm] \IR^7, [/mm] aber die Dimension von U ist 1.
[mm]
[/mm]
> Wenn ich jetzt also mehrere Basen haben will (in der
> Aufgabenstellung ist von "Bestimmen Sie Basen" die Rede –
Normal wäre "bestimmen Sie eine Basis".
Kann es sein, daß sich der Plural auf noch folgende Aufgaben bezieht?
> was ich als sehr unpräzise empfinde: Sind 2,3,4 oder gar
> 100 Basen gefragt?), dann kann ich zum Beispiel noch
> [mm]\vektor{-4 \\
0 \\
0 \\
2}[/mm] dazunehmen.
Wenn wirklich nach mehreren Basen gefragt ist, würde ich schreiben:
"Der errechnete Vektor ist eine Basis des Lösungsraumes. Jedes vom Nullvektor verschiedene Vielfaches dieses Vektors ist ebenfalls eine Basis." Damit hast Du dann in diesem eindimensionalen Fall sämtliche möglichen Basen abgehandelt.
LG Angela
>
> Viele Grüße
> Patrick
>
>
[mm]
[/mm]
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Hallo Angela,
> > Vielleicht hab ich das etwas merkwürdig formuliert. Ich
> > wollte ausdrücken, dass für eien Basis [mm]Dim(V) = Dim(\langle v_1, ..., v_n \rangle)[/mm]
> > gelten muss und alle Vektoren linear unabhängig sein
> > müssen.
>
> Wenn ich das mal in etwas übersetze, was mir verständlich
> ist: wenn [mm](v_1,...,v_n)[/mm] eine Basis eines VRes V ist, dann
> erzeugen diese Vektoren V. Es ist dann [mm]V=,[/mm] und
> daher ist [mm]dim(V)=dim().[/mm]
> Wenn wenn [mm](v_1,...,v_n)[/mm] eine Basis eines VRes V ist, dann
> sind die n-Vektoren linear unabhängig,
> und wenn [mm](v_1,...,v_n)[/mm] eine Basis von V ist, denn ist
> dimV=n.
Ja, das würde ich so unterschreiben.
> > > Dir ist aber schon klar, daß, wenn in einer Menge
> > > Spaltenvektoren mit 5 Einträgen enthalten sind und sich
> > > diese Menge als VR entpuppt, dessen Dimension nicht
> > > unbedingt =5 ist, oder?
> >
> > Die Einträge der Spaltenvektoren sagen nichts über die
> > Dimension des Vektorraums aus, wohl aber die Dimension der
> > linearen Hülle der Vektoren (siehe oben). Korrigiere mich
> > gerne, wenn ich da falsch liege.
>
> Ich weiß nicht, ob wir gerade aneinander vorbeireden:
>
> Es ist z.B. [mm]U:=<\vektor{1\\
2\\
3\\
4\\
5\\
6\\
7}>[/mm] ein UVR des
> 7-dimensionalen VRes [mm]\IR^7,[/mm]
> aber die Dimension von U ist 1.
> [mm][/mm]
Ich kann mit der Schreibweise [mm]^7[/mm] leider nicht viel anfangen. Was bedeutet jeweils der Schrägstrich?
Das hier die Dimensionen unterschiedlich sind, sehe ich aber ein.
> > Wenn ich jetzt also mehrere Basen haben will (in der
> > Aufgabenstellung ist von "Bestimmen Sie Basen" die Rede –
>
>
> Normal wäre "bestimmen Sie eine Basis".
> Kann es sein, daß sich der Plural auf noch folgende
> Aufgaben bezieht?
Es gibt zwar folgende Aufgaben, aber gerade dann hätte es "Bestimmen Sie jeweils eine Basis für die Unterräume" heißen müssen. Ich werde den Aufgabensteller mal fragen, was er hier genau möchte.
> Wenn wirklich nach mehreren Basen gefragt ist, würde ich
> schreiben:
>
> "Der errechnete Vektor ist eine Basis des Lösungsraumes.
> Jedes vom Nullvektor verschiedene Vielfaches dieses Vektors
> ist ebenfalls eine Basis." Damit hast Du dann in diesem
> eindimensionalen Fall sämtliche möglichen Basen
> abgehandelt.
Danke.
Viele Grüße
Patrick
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> > > Die Einträge der Spaltenvektoren sagen nichts über die
> > > Dimension des Vektorraums aus, wohl aber die Dimension der
> > > linearen Hülle der Vektoren (siehe oben). Korrigiere mich
> > > gerne, wenn ich da falsch liege.
> >
> > Ich weiß nicht, ob wir gerade aneinander vorbeireden:
> >
> > Es ist z.B. [mm]U:=<\vektor{1\\
2\\
3\\
4\\
5\\
6\\
7}>[/mm]
> ein UVR des
> > 7-dimensionalen VRes [mm]\IR^7,[/mm]
> > aber die Dimension von U ist 1.
> > [mm][/mm]
>
> Ich kann mit der Schreibweise
> [mm]^7[/mm] leider nicht viel anfangen.
Ich auch nicht.
Es sollte eigentlich "ein UVR des VRes [mm] \IR^7" [/mm] heißen.
LG Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:54 Sa 19.01.2013 | | Autor: | Apfelchips |
> > > Es ist z.B. [mm]U:=<\vektor{1\\
2\\
3\\
4\\
5\\
6\\
7}>[/mm]
> > ein UVR des
> > > 7-dimensionalen VRes [mm]\IR^7,[/mm]
> > > aber die Dimension von U ist 1.
> > > [mm][/mm]
> >
> > Ich kann mit der Schreibweise
> > [mm]^7[/mm] leider nicht viel anfangen.
>
> Ich auch nicht.
> Es sollte eigentlich "ein UVR des VRes <img class="latex" _cke_realelement="true" [mm] alt="$\IR^7" [/mm] $"="" src="http://teximg.matheraum.de/render?d=108&s=$%5CIR%5E7$" "=""> heißen.
Okay, dann habe ich das richtig interpretiert. 
Gruß
Patrick
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