Basen eines VR über GF < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:31 Di 04.11.2008 | | Autor: | Peter17 |
| Aufgabe | Beweise: Sei V ein n-dimensionalen Vektorraum über einem endlichen Körper mit q Elementen gibt es
[mm] \prod_{k=0}^{n-1}(q^n-q^k)
[/mm]
verschiedene Basen. |
Hallo,
Bei dieser Aufgabe stehe ich leider etwas an. Ich hab' mir das ganze einmal für GF(2) angesehen, ab 3 Dimensionen sinds aber bereits zuviele Basen, als das ich etwas erkennen könnte. Bislang habe ich mir überlegt, dass es [mm] q^n [/mm] Vektoren insgesamt gibt. Ausmultipliziert ergibt die Formel [mm] (q^n-1)(q^n-q)...(q^n-q^{n-1}). [/mm] Denke der Weg ist richtig, mir fehlt aber der letzte Schritt zu verstehen, was ich da genau abziehe von der Gesamtanzahl der Vektoren und ausmultipliziere.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
wäre für jeden hinweis dankbar, peter
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> Beweise: Sei V ein n-dimensionalen Vektorraum über einem
> endlichen Körper mit q Elementen gibt es
>
> [mm]\prod_{k=0}^{n-1}(q^n-q^k)[/mm]
>
> verschiedene Basen.
> Hallo,
> Bei dieser Aufgabe stehe ich leider etwas an. Ich hab' mir
> das ganze einmal für GF(2) angesehen, ab 3 Dimensionen
> sinds aber bereits zuviele Basen, als das ich etwas
> erkennen könnte. Bislang habe ich mir überlegt, dass es [mm]q^n[/mm]
> Vektoren insgesamt gibt.
Hallo,
genau.
Jetzt baut man eine Basis auf.
1. Wieviele Möglichkeiten hat man für den 1.Basisvektor [mm] b_1? [/mm] Nun, man kann jeden außer dem Nullvektor nehmen, also [mm] q^n-1 [/mm] Möglichkeiten.
2. Wieviele Möglichkeiten hat man für den 2.Basisvektor [mm] b_2? [/mm]
Man kann alle nehmen außer den Linearkombinationen von [mm] b_1. [/mm] Wieviele Linearkombinationen sind das? Die p Vielfachen.
Also: [mm] q^n-q [/mm] Möglichkeiten.
3. Wieviele Möglichkeiten hat man für den 3.Basisvektor [mm] b_3? [/mm]
Man kann alle nehmen außer den Linearkombinationen von [mm] b_1 [/mm] und [mm] b_2. [/mm] Wieviele Linearkombinationen sind das, die ausgenommen werden müssen?
Also:...
usw.
Gruß v. Angela
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