Basen eines Vektorraums < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:09 Fr 24.02.2006 | | Autor: | nick_860 |
| Aufgabe | Es sei V der Vektorraum der Polynomfunktion R -> R vom Grad [mm] \le [/mm] 2 der Form p(x) = [mm] a_{0} [/mm] + [mm] a_{1} [/mm] * x + [mm] a_{2} [/mm] *x² mit Koeffizienten [mm] a_{0},a_{1}, a_{2} \in [/mm] R .
Zeigen Sie, dass die Funktionale
[mm] \delta_{1} [/mm] (p(x)) := p(-1) = [mm] a_{0} [/mm] - [mm] a_{1} +a_{2}
[/mm]
[mm] \delta_{2} [/mm] (p(x)) := p'(-1) = [mm] a_{1} -2a_{2}
[/mm]
[mm] \delta_{3} [/mm] (p(x)) := p"(-1) = [mm] 2a_{2}
[/mm]
eine Basis von V* darstellen und bestimmen Sie jene Basis B von V mit [mm] B*={\delta_{1}, \delta_{2}, \delta_{3}}.
[/mm]
Bestimmen Sie weiters mit Hilfe von B ein Polynom p(x) vom Grad [mm] \le [/mm] 2 mit
p(-1) = 0, p'(-1) = -1 , p"(-1) = 2 |
Hallo!
Ich weiß nicht, wie ich auf die Basis kommen soll!! Und was bedeutet überhaupt V*????
Auch würde ich nicht die letzte Aufgabe mit Hilfe von B lösen kann! Bitte kann mir irgendjemand Lösungsvorschläge (vielleicht auch Lösungsansätze) geben!!
Vielen vielen Dank!
Gruß Nick
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:42 Fr 24.02.2006 | | Autor: | statler |
Mahlzeit Nick!
> Es sei V der Vektorraum der Polynomfunktion R -> R vom Grad
> [mm]\le[/mm] 2 der Form p(x) = [mm]a_{0}[/mm] + [mm]a_{1}[/mm] * x + [mm]a_{2}[/mm] *x² mit
> Koeffizienten [mm]a_{0},a_{1}, a_{2} \in[/mm] R .
> Zeigen Sie, dass die Funktionale
> [mm]\delta_{1}[/mm] (p(x)) := p(-1) = [mm]a_{0}[/mm] - [mm]a_{1} +a_{2}[/mm]
>
> [mm]\delta_{2}[/mm] (p(x)) := p'(-1) = [mm]a_{1} -2a_{2}[/mm]
> [mm]\delta_{3}[/mm]
> (p(x)) := p"(-1) = [mm]2a_{2}[/mm]
> eine Basis von V* darstellen und bestimmen Sie jene Basis
> B von V mit [mm]B*={\delta_{1}, \delta_{2}, \delta_{3}}.[/mm]
>
> Bestimmen Sie weiters mit Hilfe von B ein Polynom p(x) vom
> Grad [mm]\le[/mm] 2 mit
> p(-1) = 0, p'(-1) = -1 , p"(-1) = 2
> Hallo!
> Ich weiß nicht, wie ich auf die Basis kommen soll!! Und
> was bedeutet überhaupt V*????
V* ist der Dualraum, das sind die Linearformen auf V. In der Aufgabenstellung werden sie Funktionale genannt.
Eine Lin.-form [mm] \delta [/mm] ist vollständig bestimmt durch ihre Werte auf einer Basis von V, weil sie ja linear ist. Diese Werte kannst du beliebig vorgeben. Du mußt jetzt zeigen, daß sie als Lin.-komb. der [mm] \delta_{i} [/mm] darstellbar ist. Dazu mußt du ein Gleichungssystem lösen, dessen Aufstellung ich dir überlasse! Wenn du das erledigt hast, weißt du, daß die [mm] \delta_{i} [/mm] ein Erz.-system bilden. Wenn die Lösung eindeutig ist, bilden sie sogar eine Basis, weil ....?
Zur Herleitung der dualen Basis in V mußt du dann Polynome [mm] p_{i}, [/mm] i = 1,2,3, suchen mit [mm] \delta_{i}(p_{j}) [/mm] = [mm] \delta_{ij}. [/mm] Da muß wieder ein lin. Gl.-system gelöst werden!
> Auch würde ich nicht die letzte Aufgabe mit Hilfe von B
> lösen kann! Bitte kann mir irgendjemand Lösungsvorschläge
> (vielleicht auch Lösungsansätze) geben!!
Das überlasse ich für den Moment mal dir oder einem anderen Fan, deswegen ist die Aufgabe auch als teilw. beantw. markiert.
Gruß aus dem sonnigen HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:34 So 26.02.2006 | | Autor: | nick_860 |
Hallo!
Vielen Dank erst einmal für die rasche Antwort!
Jedoch bringt sie mich nicht sonderlich weiter!
OK, ich habe verstanden, dass es sich um einen Dualraum handelt, aber wie kann ich dann die duale Basis errechnen?? Und das mit Lösen eines Gleichungssystems!?!!?!
[mm] \delta_i, [/mm] wie soll ich das errechnen?? Das müsste doch ganz einfach [mm] \delta_1 [/mm] sein, oder??? Das ändert sich ja durch die Ableitungen..
Danke schon im voraus!
Gruß Nick
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Hallo Nick,
zu Deiner Nachfrage siehe auch neue Antwort auf urspr. Frage.
Gruss,
Mathias
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Hallo und guten Morgen,
um mal die Loesungshinweise von statler etwas expliziter zu machen:
Zweifelsohne sind [mm] \delta_1,\delta_2,\delta_3\in V^{\star}. [/mm] Um die Basiseigenschaft nachzuweisen,
reicht es, den zweiten Teil zu bearbeiten, d.h. eie duale Basis des V anzugeben, d.h. Polynome [mm] p_1,p_2,p_3 [/mm] mit
[mm] \delta_i(p_j)= \begin{cases} 1 & falls\:\: i=j\\ 0 & sonst\end{cases}
[/mm]
Fuer [mm] p_1 [/mm] ergibt sich folgendes LGS fuer die Koeff. [mm] a_{10},a_{11},a_{12}:
[/mm]
[mm] \delta_1(p_1)=1 [/mm] d.h. [mm] a_{10}-a_{11}+a_{12}=1
[/mm]
[mm] \delta_2(p_1)=0 [/mm] d.h. [mm] a_{11}-2a_{12}=0
[/mm]
[mm] \delta_3(p_1)=0 [/mm] d.h. [mm] 2\cdot a_{12}=0
[/mm]
Analog stellst Du die Gleichungen fuer die Koeff zu [mm] p_2,p_3 [/mm] auf.
Hast Du nun [mm] p_1,p_2,p_3 [/mm] ermittelt, so suchst Du im zweiten Aufgabeteil nun ein Polynom p mit
[mm] \delta_1(p)=0,\delta_2(p)=-1,\delta_3(p)=2\:\:\: (\star)
[/mm]
und das gesuchte Polynom ist ja darstellbar also LinKomb der Polynome der dualen Basis:
[mm] p=\lambda_1\cdot p_1+\lambda_2\cdot p_2+\lambda_3\cdot p_3
[/mm]
und dann nach Def der [mm] \delta_i,1\leq i\leq [/mm] 3 und der dualen Basis
[mm] \delta_i(p)=\lambda_i\:\: (1\leq i\leq 3)\:\:\: (\star\star)
[/mm]
Kombiniere nun [mm] (\star) [/mm] und [mm] (\star\star), [/mm] um die Koeffizienten [mm] \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3 [/mm] zu erhalten.
Viele Gruesse,
Mathias
D
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:51 Mi 01.03.2006 | | Autor: | nick_860 |
Hallo!
So, vielen vielen Dank für deine Bemühungen mathiash!
Nach deiner lösung für [mm] p_1 [/mm] ergibt sich folgende Lösung für [mm] p_2 [/mm] mit den koeffizienten a_20, a_21, a_22:
[mm] \delta_1 (p_2) [/mm] = 0 d.h. a_20 - a_21 + a_22 = 0
[mm] \delta_2 (p_2) [/mm] = 1 d.h. a_21 - 2a_22 = 1
[mm] \delta_3 (p_2) [/mm] = 0 d.h. 2a_22 = 0
Daraus ergibt sich für mich a_20 = 1, a_21 =1 und a_22=0
Für [mm] p_3 [/mm] folgende lösungen:
[mm] \delta_1 (p_3) [/mm] = 0 d.h. a_30 - a_31 + a_32 = 0
[mm] \delta_2 (p_3) [/mm] = 0 d.h. a_31 - 2a_32 = 0
[mm] \delta_3 (p_3) [/mm] = 1 d.h. 2a_32 =1
Daraus ergibt sich a_30 = 0,5, a_31 = 1 und a_32 = 0,5
Nun, muss ich in die formel aus der angabe p(x) einsetzen und komme auf :
[mm] p_1= [/mm] a_10 d.h. =1
[mm] p_2 [/mm] = a_20 +a_21x d.h. = 1 +x
Frage: Kann jetzt annehmen, dass x = -1 (weil so in angabe) ist???
Dann wäre [mm] p_2 [/mm] = 0
[mm] p_3 [/mm] = a_30 + a_31x + a_32x² = 0,5 +x +0,5x²
Dann wäre aber auch [mm] p_3 [/mm] = 1 - 1 = 0
Um das polynom p zu suchen, muss ich ja in deine beiden [mm] \* [/mm] und [mm] \** [/mm] nur einsetzen:
[mm] \delta_1 [/mm] (p) = [mm] \lambda_1 [/mm] = 0
[mm] \delta_2 [/mm] (p) = [mm] \lambda_2 [/mm] = -1
[mm] \delta_3 [/mm] (p) = [mm] \lambda_3 [/mm] = 2
Kann ich dann daraus schließen, dass gilt:
p= [mm] -p_2 +2p_3???
[/mm]
Und was fange ich dann damit an??? Was weiß ich dadurch??
Vielen Dank im voraus!
Gruß nick
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Hallo und guten Morgen,
kurz und knapp: Ja, Du kannst das schliessen. Wenn Du also
[mm] p=-p_2+2p_3 [/mm] nimmst und da die Polynome
[mm] p_2(x)=x+1
[/mm]
[mm] p_3(x)=\frac{1}{2}x^2+x+\frac{1}{2}
[/mm]
einsetzt (ich hoffe, Du hast die Gleichungssysteme richtig geloest, das hab ich jetzt nicht
nachgerechnet, aber schaut ja nicht schlecht aus),
ergibt sich also
[mm] p(x)=x^2+x, [/mm] richtig ?
Testen wir, ob dieses p die gewuenschten Eigenschaften hat:
p(-1)=0. ok
p'(-1)=-1 : p'(x)=2x+1, -1 einsetzen,.... ok !
p''(-1)=2: p''(x)=2, ja, stimmt auch.
Viele Gruesse,
Mathias
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