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| Aufgabe | | Sei f [mm] \in Hom(K^{3},K^{2}) [/mm] durch f(x,y,z)=(x-y,y-z) definiert. Finde eine Basis [mm] B=(e_{1},e_{i},v) [/mm] von [mm] K^{3}, [/mm] mit v=(1,?,?), so dass [mm] \psi_{CB}(f)=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 } [/mm] mit [mm] C=(?,\pm e_{2}) [/mm] |
Hallo liebe Helfer,
Wieder einmal stecke ich bei einer Aufabe fest, wobei ich das Gefühl habe ich bin gar nicht mehr so weit von der Lösung entfernt..
Also folgendes habe ich mir schon überlegt:
[mm] \psi [/mm] ist von Hom [mm] \to [/mm] Mat, wir haben aber hier ja schn die Matrix, also wird f angewandt auf [mm] v_{1}=(1,0) [/mm] sein, auf [mm] v_{2}=(0,1) [/mm] und auf [mm] v_{3}=(0,0).
[/mm]
Also z.B. für [mm] v_{1} [/mm] wäre das dann x-y=1, y-z=0
Nun hier habe ich mein problem:
Wie komme ich auf [mm] v_{1} [/mm] bis [mm] v_{3}? [/mm] Sind das einfach die 3 Elemente von B? Würde ja im ersten Fall recht gut aufgehen, nur im zweiten Fall nicht und was mache ich dann mit C?
Wäre sehr forh, wenn mir da jemand auf die Sprünge helfen könnte..
Lg Ersti
p.s. ich habe diese Frage in keinem anderen Internetforum gepostet.
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> Sei f [mm]\in Hom(K^{3},K^{2})[/mm] durch f(x,y,z)=(x-y,y-z)
> definiert. Finde eine Basis [mm]B=(e_{1},e_{i},v)[/mm] von [mm]K^{3},[/mm]
> mit v=(1,?,?), so dass [mm]\psi_{CB}(f)=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 }[/mm]
> mit [mm]C=(?,\pm e_{2})[/mm]
Hallo,
ich glaube, daß es übersichtlicher wird, wenn wir ein paar neue Bezeichnungen für die Basisvektoren einführen.
Gesucht wird eine Basis [mm] B:=(b_1,b_2,b_3) [/mm] von [mm] K^3 [/mm] undeine Basis [mm] C:=(c_1,c_2) [/mm] von [mm] K^2, [/mm] so daß die Darstellende Matrix der Abbildung [mm] \phi [/mm] in diesen Basen
[mm] \psi_{CB}(f)=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0} [/mm] ist.
Für die Basen auferlegt die Aufgabe einige Einschränkungen:
Es soll sein
[mm] b_1:=\vektor{1 \\ 0 \\ 0},
[/mm]
[mm] b_2:=\vektor{0\\ 1 \\ 0} [/mm] oder [mm] b_2:=\vektor{0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
[mm] b_3:=\vektor{1 \\ r \\ s}
[/mm]
und [mm] c_2:=\pm \vektor{0 \\ 1 }.
[/mm]
Jetzt schauen wir die Matrix an, also die Abbildung der Basisvektoren.
> Also folgendes habe ich mir schon überlegt:
> [mm]\psi[/mm] ist von Hom [mm]\to[/mm] Mat, wir haben aber hier ja schn die
> Matrix, also wird f angewandt auf [mm]v_{1}=(1,0)[/mm] sein, auf
> [mm]v_{2}=(0,1)[/mm] und auf [mm]v_{3}=(0,0).[/mm]
Das ist richtig - nur muß man gut überlegen, was das bedeutet.
[mm] \psi_{CB}(f) [/mm] ist ja die Matrix, die die Abbildungen bzgl. B und C beschreibt.
Das bedeutet
[mm] \phi(b_{1})=(1,0)_C=1*c_1+0*c_2,
[/mm]
[mm] \phi(b_{2})=(0,1)_C=0*c_1+1*c_2,
[/mm]
[mm] \phi(b_{3})=(0,0)_C=0*c_1+0*c_2=0
[/mm]
Und nun kannst Du anfangen, koordinatenweise zu arbeiten und es Dir zurechtzubiegen:
[mm] c_1=\phi(b_{1})=... (b_1 [/mm] einsetzen)
usw.
Gruß v. Angela
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