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Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume" - Basen in Vektorraum V zeigen
Basen in Vektorraum V zeigen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Basen in Vektorraum V zeigen: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 20:59 Di 23.11.2010
Autor: void.

Aufgabe
Zeige: Ist [mm] b_1, [/mm] ......, [mm] b_n [/mm] eine Basis des Vektorraumes V , so ist auch
[mm] b_1 [/mm]
[mm] b_2 [/mm] + [mm] b_1 [/mm]
[mm] b_3 [/mm] + [mm] b_2 [/mm] + [mm] b_1 [/mm]
.
.
.
[mm] b_n [/mm] + [mm] b_{n-1} [/mm] + .... [mm] b_1 [/mm]

eine Basis von V .

Hallo,


mich verwirrt diese Aufgabe etwas....
eine Basis ist doch immer eine Menge von Vektoren mit den Eig. lin unabh und Erzeugend. Also ist hier zB. [mm] b_1 [/mm]  eine bel. Menge von Vektoren die eine Basis in V bilden?

wenn also [mm] b_1 [/mm] = { [mm] \vektor{x_1 \\ y_1 \\ z_1}, \vektor{x_2 \\ y_2 \\ z_2}, [/mm] ...., [mm] \vektor{x_m \\ y_m \\ z_m} [/mm] }


Dann ist doch

[mm] b_i [/mm] = { a * [mm] \vektor{x_1 \\ y_1 \\ z_1}, [/mm] a * [mm] \vektor{x_2 \\ y_2 \\ z_2}, [/mm] ...., a * [mm] \vektor{x_m \\ y_m \\ z_m} [/mm] }   [mm] \forall [/mm] i [mm] \in \IN [/mm] , a [mm] \in \IR [/mm]

Also das Vielfache von den Vektoren der Basis sind ja immer noch die Basis und durch Aufsummiern der einzelnen Basisvektoren passiert ja im Prinzip nix anderes.

Ist das damit schon gezeigt? ^^ wär wohl zu einfach



Gruß

        
Bezug
Basen in Vektorraum V zeigen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:20 Di 23.11.2010
Autor: wieschoo


>  [mm]b_1[/mm][mm] =x_1 [/mm]
>  [mm]b_2[/mm] + [mm]b_1[/mm][mm] =x_2 [/mm]
>  [mm]b_3[/mm] + [mm]b_2[/mm] + [mm]b_1[/mm][mm] =x_3 [/mm]
>  .
>  .
>  .
>  [mm]b_n[/mm] + [mm]b_{n-1}[/mm] + .... [mm]b_1[/mm][mm] =x_n [/mm]
>  

Du sollst zeigen: [mm] $x_1,\ldots,x_n$ [/mm] bilden eine Basis von V.



Bezug
                
Bezug
Basen in Vektorraum V zeigen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:07 Di 23.11.2010
Autor: void.

ok neuer Versuch

Da [mm] b_1, [/mm] ... [mm] b_n [/mm] Basen von V gilt:

[mm] b_i [/mm]  = { [mm] a_i [/mm] * [mm] \vektor{x_1 \\ y_1 \\ z_1}, a_i [/mm] * [mm] \vektor{x_2 \\ y_2 \\ z_2}, [/mm]  ...., [mm] a_i [/mm] *  [mm] \vektor{x_m \\ y_m \\ z_m} [/mm]  } [mm] \forall [/mm] i [mm] \in [/mm] {1,....,n}


mit [mm] b_i [/mm] + [mm] b_{i+1} [/mm] folgt


[mm] b_i [/mm] + [mm] b_{i+1} [/mm]  = { [mm] (a_i [/mm] + [mm] a_{i+1} [/mm] ) * [mm] \vektor{x_1 \\ y_1 \\ z_1}, (a_i [/mm] + [mm] a_{i+1} [/mm] ) * [mm] \vektor{x_2 \\ y_2 \\ z_2}, [/mm]  ...., [mm] (a_i [/mm] + [mm] a_{i+1} [/mm] ) *  [mm] \vektor{x_m \\ y_m \\ z_m} [/mm]  } [mm] \forall [/mm] i [mm] \in [/mm] {1,....,n}

und da V ein Vektorraum ist ist die Vektoraddition in diesem abgeschlossen und es gilt [mm] b_i [/mm] + [mm] b_{i+1} [/mm] ist eine Basis für V für beliebige i's und Anzahl von Additionen

Geht das so?

Gruß


Bezug
                        
Bezug
Basen in Vektorraum V zeigen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:11 Di 23.11.2010
Autor: wieschoo

Nein.

Es sind [mm] $b_1,\ldots b_n$ [/mm] Basisvektoren von V. Du sollst zeigen, dass
[mm] $p_1,\ldots,p_n$ [/mm] auch Basisvektoren von V sind mit [mm] $p_k=\sum_{i=1}^{k}b_i$ [/mm]


Bezug
                                
Bezug
Basen in Vektorraum V zeigen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:32 Di 23.11.2010
Autor: void.

hallo,

danke ....damit war mein Ansatz schon völlig falsch.

aber wie kann ich das zeigen? durch die addition der Vektoren ändern sich die Einträge doch völlig, und bleiben nicht wie bei der multiplikation proportional zu einander.



Gruß

Bezug
                                        
Bezug
Basen in Vektorraum V zeigen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:15 Mi 24.11.2010
Autor: jumape

du musst zeigen, dass jeder Vektor v aus deiner neuen Basis als Linearkombination aus den [mm] b_i [/mm] darstellbar ist und dann, dass jedes [mm] b_i [/mm] als Linearkombination aus den v darstellbar ist. Damit hast du Erzeugendensystem. Lineare Unabhängigkeit bekommst du, weil es ebenso viele v's wie [mm] b_i's [/mm] gibt.
Fertig

Bezug
                                                
Bezug
Basen in Vektorraum V zeigen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:27 Fr 26.11.2010
Autor: void.

Danke für die Antworten

Bezug
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