Basen von Eigenräumen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:03 Di 12.09.2006 | | Autor: | cloe |
Hallo zusammen,
ich hab eine allgemeine Frage zum Thema Eigenwerttheorie und zwar,
wie berechnet man die Basen von Eigenräumen?
Könnte mir das bitte jemand anhand eines Beispiels erklären?
Danke im Voraus.
cloe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:25 Di 12.09.2006 | | Autor: | ron |
Hallo cloe,
schaue dir einfach mal an wie die Bedingung für Eigenwerte und Eigenvektoren lautet:
A v = [mm] \alpha [/mm] v
Av - [mm] \alpha [/mm] v = 0
(A - [mm] \alpha E_n [/mm] )v = 0 (Hier ist [mm] E_n [/mm] die Einheitsmatrix der Dim = n)
somit löst du ein homogenes lineares Gleichungssystem zu jedem Eigenwert.
Findest du zu k Eigenwerten [mm] \alpha_k [/mm] über diese Methode genau n Eigenvektoren [mm] v_i_k [/mm] , dann hast du eine Basis aus Eigenvektoren von [mm] \IR^n [/mm] gefunden und die Matrix A läßt sich diagonalisieren.
Jetzt kann es vorkommen, dass die Dimesion dieses Eigenraumes kleiner ist als die Vielfachheit des Eigenwertes als Nullstelle des charakteristischen Polynomes, darüber hast du ja EW berechnet.
Dann mußt du die Dimension "aufbohnen" über die sog. Haupträume zum Eigenwert.
Hoffe es hilft dir fürs Erste.
Gruß
Ron
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:13 Di 12.09.2006 | | Autor: | cloe |
Hallo,
ich hätte da ne Frage zu folgendem Beispiel.
Also es die Matrix A gegeben.
A= [mm] \pmat{ 0 & 0 & -2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 3}
[/mm]
Ich hab folgendes charakteristische Polynom dazu herausbekommen
f(x) = [mm] x^3 [/mm] - [mm] 5x^2 [/mm] + 8x - 4
und die Eigenwerte 2 und 1
Die Eigenvektoren zu 2 sind [mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ 1} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
und der Eigenvektor zu 1 ist [mm] \vektor{-2 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
Ist das soweit richtig???
Wie sieht eigentlich der Eigenraum aus?
Kann mir da bitte jemand weiterhelfen?
Danke im voraus.
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> Hallo,
Hoi
> ich hätte da ne Frage zu folgendem Beispiel.
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> Also es die Matrix A gegeben.
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> A= [mm]\pmat{ 0 & 0 & -2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 3}[/mm]
>
> Ich hab folgendes charakteristische Polynom dazu
> herausbekommen
>
> f(x) = [mm]x^3[/mm] - [mm]5x^2[/mm] + 8x - 4
>
> und die Eigenwerte 2 und 1
>
> Die Eigenvektoren zu 2 sind [mm]\vektor{-1 \\ 0 \\ 1}[/mm] und
> [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
>
> und der Eigenvektor zu 1 ist [mm]\vektor{-2 \\ 1 \\ 1}[/mm]
>
>
> Ist das soweit richtig???
>
Alles tiptop ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wie sieht eigentlich der Eigenraum aus?
Der Eigenraum zum Eigenwert [mm] $\lambda$ [/mm] ist wie folgt definiert:
[mm] $E_{\lambda}=Kern(A-\lambda*I)$
[/mm]
Der Eigenraum [mm] $E_{\lambda}$ [/mm] wird (wie aus der Def. der Eigenvektoren ersichtlich) damit von allen Eigenvektoren zum Eigenwert [mm] \lambda [/mm] aufgespannt.
> Danke im voraus.
Gruss
EvenSteven
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:06 Di 12.09.2006 | | Autor: | cloe |
Wie würde der Eigenraum bei meinem Beispiel aussehen?
Könntest du mir da noch bitte helfen.
Danke
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> Wie würde der Eigenraum bei meinem Beispiel aussehen?
>
Hmm also die Eigenvektoren hast du ja schon, die Def. ja auch.
Nennen wir die Eigenvektoren zum Eigenwert 2 [mm] $v_{1}$ [/mm] und [mm] $v_{2}$. [/mm] Dann gilt
[mm] $E_{2}=Span\{v_{1},v_{2}\}$
[/mm]
Oder meinst du mit "aussehen" eine Zeichnung oder so? Das wäre dann 'ne Ebene durch den Ursprung.
> Könntest du mir da noch bitte helfen.
>
> Danke
Gruss
EvenSteven
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:36 Di 12.09.2006 | | Autor: | cloe |
Danke für deine Hilfe!
Gruß, cloe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:44 Di 12.09.2006 | | Autor: | EvenSteven |
> Danke für deine Hilfe!
>
> Gruß, cloe
Aber gerne doch 
Ciao
EvenSteven
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