Basen von K-Vektorraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:22 Di 01.12.2009 | | Autor: | Juliia |
Guten Abend!
Heute habe ich folgende Aufgabe:
Es sei K ein Körper mit q Elementen. Weiter sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum.
a) Wieviele Elemente besitzt V?
b) Wieviele verschiedene Basen von V gibt es?
Also zu a)
q ist Anzahl der Elemente vom Körper. Sei [mm] b_{1},...b_{n} [/mm] eine Basis von V, so hat jeder Vektor aus V eine eindeutige Basisdarstellung
[mm] (x_{1},...,x_{n}) [/mm] = [mm] x_{1} b_{1} [/mm] + ... + [mm] x_{n} b_{n} [/mm] mit Koordinaten aus K.
Es gibt genau q Möglichkeiten, [mm] x_{1} [/mm] aus K zu wählen
Es gibt genau q Möglichkeiten, [mm] x_{2} [/mm] aus K zu wählen
Es gibt genau q Möglichkeiten, [mm] x_{n} [/mm] aus K zu wählen
also |V| = [mm] q^{n}.
[/mm]
Damit bin ich schon fertig mit a), oder?
Jetzt zu b) habe ich keine Ahnung....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:07 Di 01.12.2009 | | Autor: | Juliia |
Hallo, kann mir jemand helfen?......
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> Hallo, kann mir jemand helfen?......
Hallo?
Findest Du es nicht etwas übertrieben, hier nach einer knappen Stunde schon nachzufragen?
Des weiteren stelle ich hier zum wiederholten Male fest, daß Du ein Cross-Post ohne Hinweis einstellst.
Halte Dich bitte in Zukunft an die Forenregeln.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:42 Mi 02.12.2009 | | Autor: | Juliia |
Äh, ich habe aber diese frage nur hier, in diesem Forum gestellt....
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> Guten Abend!
> Heute habe ich folgende Aufgabe:
> Es sei K ein Körper mit q Elementen. Weiter sei V ein
> n-dimensionaler K-Vektorraum.
> a) Wieviele Elemente besitzt V?
> b) Wieviele verschiedene Basen von V gibt es?
> Also zu a)
> q ist Anzahl der Elemente vom Körper. Sei [mm]b_{1},...b_{n}[/mm]
> eine Basis von V, so hat jeder Vektor aus V eine
> eindeutige Basisdarstellung
> [mm](x_{1},...,x_{n})[/mm] = [mm]x_{1} b_{1}[/mm] + ... + [mm]x_{n} b_{n}[/mm] mit
> Koordinaten aus K.
> Es gibt genau q Möglichkeiten, [mm]x_{1}[/mm] aus K zu wählen
> Es gibt genau q Möglichkeiten, [mm]x_{2}[/mm] aus K zu wählen
> Es gibt genau q Möglichkeiten, [mm]x_{n}[/mm] aus K zu wählen
> also |V| = [mm]q^{n}.[/mm]
> Damit bin ich schon fertig mit a), oder?
Hallo,
ja.
> Jetzt zu b) habe ich keine Ahnung....
Du hast nun die Menge V mit ihren [mm] p^n [/mm] Vektoren.
Wieviele Vektoren hast Du für die Wahl des ersten Basisvektors zur Auswahl?
Was mußt Du bei der Wahl des nächsten Basisvektors beachten?
[Übrigens hast Du doch im anderen Forum einen ganz guten Hinweis bekommen zur Lösung der Aufgabe.
Warum machst Du dort nicht weiter oder postest zumindest das, was Du Dir daraufhin überlegt hast, hier?]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:05 Mi 02.12.2009 | | Autor: | Juliia |
Ich weiss das nicht, vielleicht [mm] q^{n}...
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:21 Do 03.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ich weiss das nicht, vielleicht [mm]q^{n}...[/mm]
Du willst also auch den Nullvektor (der auch zu den [mm] $q^n$ [/mm] Vektoren im Vektorraum gehoert) also auch als ersten Basisvektor zulassen? Ueberleg hier nochmal genauer.
(Uebrigens: schau dir mal den Basisfortsetzungssatz an.)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:08 Do 03.12.2009 | | Autor: | Juliia |
Hallo!
Also, habe folgendes rausbekommen, weiss aber nicht o es richtig ist.
Basis [mm] (b_{1},b_{2}, [/mm] ...., [mm] b_{n})
[/mm]
Es gibt [mm] q^{n-1} [/mm] Möglichkeiten [mm] b_{1} [/mm] aus V zu wählen. der zu Basis gehört und für sich genommen linear unabhängig ist (Nullvektor fäjjt raus, deswegen -1)
Für [mm] b_{2} [/mm] ergeben sich [mm] q^{n} [/mm] - q Möglichkeiten
Für [mm] b_{3} [/mm] ergeben sich [mm] q^{n} [/mm] - [mm] q^{2} [/mm] Möglichkeiten usw.
Es gibt nämlich q Möglichkeiten [mm] b_{1} [/mm] aufzuspannen (linear abhängig, daher fallen sie weg)
Für [mm] b_{2} [/mm] sind es dann schon [mm] q^{2} [/mm] Möglichkeiten usw.
Daher gilt für die Anzahl der Basen von V [mm] \produkt_{k=0}^{n-1}(q^{n} [/mm] - [mm] q^{k})
[/mm]
Ist es so richtig, anders kann ich das nicht aufschreiben....
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> Hallo!
> Also, habe folgendes rausbekommen, weiss aber nicht o es
> richtig ist.
> Basis [mm](b_{1},b_{2},[/mm] ...., [mm]b_{n})[/mm]
> Es gibt [mm]q^{n-1}[/mm] Möglichkeiten [mm]b_{1}[/mm] aus V zu wählen. der
> zu Basis gehört und für sich genommen linear unabhängig
> ist (Nullvektor fäjjt raus, deswegen -1)
Hallo,
Du meinst sicher [mm] q^n-1 [/mm] Möglichkeiten, oder?
> Für [mm]b_{2}[/mm] ergeben sich [mm]q^{n}[/mm] - q Möglichkeiten
Ja.
> Es gibt nämlich q Möglichkeiten [mm]b_{1}[/mm] aufzuspannen
Nicht ganz: es sind bloß q-1 Vektoren, die den Raum [mm] [/mm] darzustellen.
Aber da wir den Nullvektor auch mit fortnehmen müssen, müssen q Vektoren raus.
Oder anders gesagt: es gibt q Vektoren, die Linearkombinationen von [mm] b_1 [/mm] sind, und die müssen raus, damit man als 2. Vektor garantiert einen erwischt, der von [mm] b_1 [/mm] linear unabhängig ist.
> (linear abhängig, daher fallen sie weg)
Ja.
> Für [mm]b_{3}[/mm] ergeben sich [mm]q^{n}[/mm] - [mm]q^{2}[/mm] Möglichkeiten
Genau
> Für [mm]b_{2}[/mm] sind es dann schon [mm]q^{2}[/mm] Möglichkeiten usw.
Du mußt natürlich für Deine Chefs ausführen, von welchen Möglichkeiten Du redest.
Ich weiß das zwar - und sie auch, aber sie wollen es genau erklärt haben, was das für [mm] q^2 [/mm] Vektoren sind, die Du rausnimmst und warum.
> usw.
> Daher gilt für die Anzahl der Basen von V
> [mm]\produkt_{k=0}^{n-1}(q^{n}[/mm] - [mm]q^{k})[/mm]
> Ist es so richtig,
Vom Prinzip her auf jeden Fall.
Ich würde noch erwarten, daß in einer Vorbemerkung gezeigt wird, daß man auf diese Weise wirklich n linear unabhängige Vektoren bekommt - aber je nachdem, was Du genau studierst, ist es vielleicht auch nicht nötig.
Aber egal was Du studierst: andere mal Dein Profil so, daß man auf Dein Studienfach gucken kann, ohne daß man Augenkrebs bekommt.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:39 Mi 02.12.2009 | | Autor: | Juliia |
Ich brauche Hilfe!!!
Komme nicht weiter....
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