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Forum "Lineare Gleichungssysteme" - Basis-bestimmen
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Basis-bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:59 Sa 19.11.2011
Autor: sissile

Aufgabe
homogene Gleichungsystem:
[mm] x_1 +4x_4 +5x_5 [/mm] = 0
[mm] x_1 +2x_2 +10x_4 +13x_5 [/mm] = 0
− [mm] x_1 +x_2 +3x_3 +5x_4 +8x_5 [/mm] = 0
[mm] 2x_1 +2x_2 +x_3 +16x_4 +21x_5 [/mm] = 0

Bestimme eines Basis des Lösungsraums
L := {x [mm] \in \IR^5 [/mm] | x genügen allen vier Gleichungen oben}
d.h. bestimme Vektoren [mm] b_1, [/mm] . . . , [mm] b_l \in [/mm] L, sodass sich jedes x [mm] \in [/mm] L in der Form
x = [mm] s_1b_1 [/mm] + · · · + [mm] s_lb_l [/mm]
schreiben lässt, für eindeutig bestimmte Skalare [mm] s_1, [/mm] . . . , [mm] s_l \in \IR [/mm] Hinweis: l = 2.
Gib auch ein Gleichungssystem für L an, das nur aus drei Gleichungen besteht.

hab den gauß-algorithmus versucht- kam zu

[mm] x_1....... +2x_4 [/mm] + [mm] 5x_5 [/mm] =0
[mm] ....2x_2.... +6x_4 [/mm] + 8 [mm] x_5=0 [/mm]
[mm] ...........3x_3 +6x_4+8x_5=0 [/mm]
............+4/3 [mm] x_5 [/mm] =0

Punkte- nur dass es untereinander ist!


letzte Gleichungs sagt [mm] x_5=0 [/mm]
kann ich in obrige einsetzten  [mm] 3x_3 [/mm] + [mm] 6x_4 [/mm] =0 [mm] /\cdot [/mm] (-1)
[mm] -3x_3 [/mm] = [mm] 6x_4 [/mm]
kann ich in zweite einsetzten
[mm] 2x_2 [/mm] - [mm] 3x_3 [/mm] + [mm] 8x_5 [/mm] =0

Also bräuchte man nur zwei gleichungen? ?
In der angabe steht aber man soll eins angeben dass aus drei Gleichungen besteht ;(

Das mit der basis bestimmen ist mir nicht klar


        
Bezug
Basis-bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:15 So 20.11.2011
Autor: leduart

hallo
1. du musst noch fertig lösen.
jetzt zur Basis,
wenn du etwa die lösung x1=r beliebig, x2=3r, x4=5r x3=0 x5=0 hättest
dann  hätten alle Lösungsvektoren die Form r*(1,3,0,5,0)  und eine basis wäre irgendein vektor mit festem r. wenn du 2 Variable frei wählen kannst, dann hast du 2 basisvektoren usw.
ich hab deine umformungen nicht überprüft, wenn du alle x raushast mach die probe mit einsetzen.
Gruss leduart

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Basis-bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:24 So 20.11.2011
Autor: sissile

Das ich fertig lösen muss weiß ich jedoch wie ich das mache ist eine andere Frage!!

[mm] x_5=0 [/mm] aus 4Gleichung
aber zu weiteren expliziten lösungen komme ich nicht.

Bezug
                        
Bezug
Basis-bestimmen: Antwort (nicht fertig)
Status: (Antwort) noch nicht fertig Status 
Datum: 00:43 So 20.11.2011
Autor: MathePower

Hallo sissile,

> Das ich fertig lösen muss weiß ich jedoch wie ich das
> mache ist eine andere Frage!!
>  
> [mm]x_5=0[/mm] aus 4Gleichung
>  aber zu weiteren expliziten lösungen komme ich nicht.


Die letzte Zeile stimmt leider nicht.


Gruss
MathePower



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Basis-bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:58 So 20.11.2011
Autor: sissile

$ [mm] x_1....... +2x_4 [/mm] $ + $ [mm] 5x_5 [/mm] $ =0
$ [mm] ....2x_2.... +6x_4 [/mm] $ + 8 $ [mm] x_5=0 [/mm] $
$ [mm] ...........3x_3 +6x_4+9x_5=0 [/mm] $
0=0

stimmts so?
wie kann ich jetzt explizit [mm] x_1=.., x_2=....usw. [/mm]
ausrechnen ??

Bezug
                                        
Bezug
Basis-bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:27 So 20.11.2011
Autor: leduart

Hallo
du kannst zB [mm] x_4=r, x_5=s [/mm]  r, s beliebig setzen, dann die anderen daraus ausrechnen.
Fruss leduart

Bezug
                                                
Bezug
Basis-bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:35 So 20.11.2011
Autor: sissile

also [mm] x_4=r [/mm]
[mm] x_5=s [/mm]

[mm] x_3 [/mm] = [mm] \frac{-6r-9s}{3}=-2r-3s [/mm]

[mm] x_2=\frac{-6r-8s}{2})=-3r-4s [/mm]
[mm] x_1 [/mm] = -5s - 2r

x= r * [mm] \begin{pmatrix} -2\\-3\\-2\\1\\0 \end{pmatrix} [/mm] + s * [mm] \begin{pmatrix} -5\\-4\\-3\\0\\1 \end{pmatrix} [/mm]

Stimm das? und was ist nun der basisvektor?


Bezug
                                                        
Bezug
Basis-bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:46 So 20.11.2011
Autor: angela.h.b.


> also [mm]x_4=r[/mm]
>  [mm]x_5=s[/mm]
>  
> [mm]x_3[/mm] = [mm]\frac{-6r-9s}{3}=-2r-3s[/mm]
>  
> [mm]x_2=\frac{-6r-8s}{2})=-3r-4s[/mm]
>  [mm]x_1[/mm] = -5s - 2r

Hallo,

nachgerechnet habe ich nichts. Wenn das, was oben steht, richtig ist, dann haben alle Lösungen Deines Gleichungssystems die Gestalt

>  
> x= r * [mm]\begin{pmatrix} -2\\ -3\\ -2\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}[/mm] + s *  [mm]\begin{pmatrix} -5\\ -4\\ -3\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}[/mm]

Die beiden erzeugenden Vektoren sind offensichtlich linear unabhängig, also bilden sie zusammen eine Basis des Lösungsraumes Deines Gleichungssystem. Der Lösungsraum hat also die Dimension 2.

Gruß v. Angela

>  
> Stimm das? und was ist nun der basisvektor?
>  


Bezug
                                                                
Bezug
Basis-bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:50 So 20.11.2011
Autor: sissile

danke
ist erledigt!

großes danke an die helfenden ;)

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