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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:49 Di 15.05.2007 | | Autor: | solero |
| Aufgabe | | Es seien [mm] v_1, v_2 [/mm] linear unabhängige Vektoren im [mm] \IR^3. [/mm] Zeigen Sie, dass es stets ein i [mm] \in [/mm] {1, 2, 3} gibt, sodass [mm] {v_1, v_2, e_i} [/mm] eine Basis des [mm] \IR^3 [/mm] bildet. Dabei bezeichne [mm] e_i [/mm] den i-ten Einheitsvektor des [mm] \IR^3 [/mm] . |
hallo,
irgendwie weiss ich gar nicht, wie ich hier starten soll!!!!!
was heisst denn "... dass es stets ein i [mm] \in [/mm] {1, 2, 3} gibt"???
heisst es etwa, dass der vektor [mm] e_i [/mm] aus einem vielfachen von {1, 2, 3} besteht???
die voraussetzung für eine basis ist mir schon klar (l.u. vektoren + erzeugendensystem)...
aber, es fällt mir schwer dies hier umzusetzen!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:02 Di 15.05.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
bei [mm] e_{i} [/mm] macht dir das i Probleme?
[mm] i\in\{1,2,3 \} [/mm] heißt,
i=1:
[mm] e_{1}=\vektor{1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
i=2:
[mm] e_{2}=\vektor{0 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
i=3:
[mm] e_{3}=\vektor{0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Was zu zeigen gilt, ist, dass im [mm] \IR^3 [/mm] zu je einem der Einheitsvektoren [mm] e_{i} [/mm] wobei [mm] i\in\{1,2,3 \} [/mm] zwei weitere Vektoren [mm] v_{1},v_{2} [/mm] existieren, sodass [mm] (v_{1},v_{2},e_{i}) [/mm] eine Basis Im [mm] \IR^3 [/mm] bilden.
MfG
barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:33 Di 15.05.2007 | | Autor: | solero |
ja danke, jetzt kann ichs nachvollziehen...
hmm... da ja gilt, dass [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] l.u. sind und [mm] e_i [/mm] den i-ten einheitsvektor des [mm] \IR^3 [/mm] darstellt und auch l.u. zu den anderen vektoren ist, könnte man doch daraus schlussfolgern, dass die eine basis bilden...
aber wie beweist man hier den erzeugendensystem??? ich meine die vektoren [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] sind doch nciht gegeben??!!
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> hmm... da ja gilt, dass [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm] l.u. sind und [mm]e_i[/mm] den
> i-ten einheitsvektor des [mm]\IR^3[/mm] darstellt und auch l.u. zu
> den anderen vektoren ist, könnte man doch daraus
> schlussfolgern, dass die eine basis bilden...
> aber wie beweist man hier den erzeugendensystem??? ich
> meine die vektoren [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm] sind doch nciht gegeben??!!
Hallo,
WENN Du aus irgendwelchen Gründen schlußfolger kannst, daß für ein i
[mm] (v_1,v_2,e_i) [/mm] eine Basis bilden, bist Du fertig.
Über Erzeugendensystem brauchst Du Dir keine grauen Haare wachsen zu lassen: jede Basis IST bereits ein Erzeugendensystem. Ein minimales.
Die Frage bleibt: wie kommst Du zum Schluß, daß es so ein i gibt, so daß [mm] (v_1,v_2,e_i) [/mm] eine Basis ist?
Ein Tip: schau mal nach, ob der Austauschsatz von Steinitz bereits dran war. Du findest ihn normalerweise im Dunstkreis bzw. direkten Vorfeld des Dimensionsbegriffes.
Wenn Du den Satz verwenden kannst, brauchst Du überhaupt nichts zu rechnen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:47 Sa 19.05.2007 | | Autor: | Dave11 |
Guten Abend,
also ich beschäftige mich gerade auch mit dieser Aufgabe:)
Nach dem Basis Ergänzungssatz kann ich doch durch Hinzunahme eines geeigneten Vektor in diesem Fall meine zwei linear unabhängigen Vektoren
so ergänzen das ich eine Basis erhalte?
Da ich doch weiss das [mm] $e_1,e_2$ [/mm] und [mm] $e_3$ [/mm] schon eine Basis im $ [mm] \IR^3 [/mm] $
bildet, so kann ich doch sagen das es zu $ [mm] v_1 [/mm] $ und $ [mm] v_2 [/mm] $ immer
einen passenden [mm] $e_i$ [/mm] gibt,oder?
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> Nach dem Basis Ergänzungssatz kann ich doch durch
> Hinzunahme eines geeigneten Vektor in diesem Fall meine
> zwei linear unabhängigen Vektoren
> so ergänzen das ich eine Basis erhalte?
> Da ich doch weiss das [mm]e_1,e_2[/mm] und [mm]e_3[/mm] schon eine Basis im
> [mm]\IR^3[/mm]
> bildet, so kann ich doch sagen das es zu [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm]
> immer
> einen passenden [mm]e_i[/mm] gibt,oder?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Der Basisergänzungssatz (so wie ich ihn kenne, die Benennungen sind ja nicht ganz einheitlich), würde mir nur sagen, daß ich [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] durch einen geeigneten Vektor zu einer Basis ergänzen kann.
Das allein würde nicht reichen.
Für das Problem maßgeschneidert ist der Austauschsatz von Steinitz:
hier hat man eine Basis [mm] (a_1,...a_n) [/mm] und eine linear unabhängige Menge von Vektoren [mm] \{b_1,....,b_r\}. [/mm] Der Satz sagt nun, daß (bei geeigneter Numerierung) [mm] (b_1,....,b_r,a_{r+1},...,a_n) [/mm] eine Basis ist.
(Man könnte diesen Austausch durchaus als Ergänzung auffassen.)
Schau also nach, ob Dein Ergänzungssatz der passende ist - im Prinzip geht's so, wie Du sagst.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:01 Sa 19.05.2007 | | Autor: | Dave11 |
Hi,
habe nochmal im Scribt nachgeschaut und gesehen das ich sowohl den Basisergänzungssatz als auch den Austauschsatz von Steinitz für die Aufgabe benutzen kann.
Vielen Dank
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:37 Sa 19.05.2007 | | Autor: | solero |
ja stimmt hast recht, da ja i=1 (=index) ist könnte man ja dann auch einen vielfachen vektor aus V nehmen der in l.u. iist und zusammen mit [mm] v_1,v_2 [/mm] zusammen eine basis bildet... aber mein problem ist es rechnerisch zu zeigen!!! *grrrrr*
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Hallo,
wenn Du in Deinem Skript die besagten Sätze findest, brauchst Du überhaupt nichts zu rechnen - und ich bin mir ziemlich sicher, daß "Steinitz" vorkam, wenn Du Lineare Algebra hörst!
Ansonsten mußt Du wirklich rechnen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:57 Sa 19.05.2007 | | Autor: | solero |
doch der kam dran, aber ich dachte, man müsste es noch rechnerisch beweisen... dann schreibe ich die begründung einfach mal auf.
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Wenn er dran war, kannst Du ihn beruhigt verwenden.
Schreibst: "Nach dem Austauschsatz von Steinitz..." und am besten noch die Nummer des Satzes.
Gruß v. Angela
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