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Hallo zusammen. Ich hab ein Problem mit dem Begriff Basis. Wie kann ich etwas so darstellen, dass es sich um Basen handelt. Wie muss ich bei sowas vorgehen? z.B. soll ich [mm] \IR^2^x^2 [/mm] Matrizen als Basis darstellen. ich habe eine Liste aus denen ich neun wählen soll.
Zum anderen habe ich Polynome die ich als Basis darstellen soll. z.B. [mm] \IR_\le_2 [/mm] die ich als Basis darstellen soll. Ebenfalls aus neun verschiedenen. Wenn das Polynom [mm] \IR_\le_2 [/mm] sein soll, dann müsste das doch eigentlich die Dimension 3 haben oder? also muss ich mir drei auswählen. Aber wie gehe ich dann hier wieder vor? Handelt es sich bei [mm] \IR_\le_2 [/mm] um die Potenz?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:37 So 02.12.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ganz einfach 2*2 Matrizen gibt es maximal 4 linear unabh. dalso musst du dir irgend 4 lin unabh. aus deinen 9 raussuchen.
dann kannst du ja versuchen, ob du damit jede Matrix der Form
[mm] \pmat{ a & b \\ c & d } a,b,c,d\in\IR [/mm] darstellen kannst
Grundsätzlich, wenn du ne Basis hast, kannst du ALLE Vektoren des Raums durch ne Linearkombination der Basisvektoren darstellen.
Polynome der Ordnung [mm] \le2 [/mm] haben die allgemeine Form [mm] a+bx+cx^2 [/mm] da ist ne Basis leicht zu finden!
Gruss leduart.
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Okay das habe ich soweit verstanden. Wo jetz noch mein Problem ist, dass ich nicht weiß wie ich das machen soll. Also lineare unabhängigkeit prüfe ich im allgemeinen nach Gauß. Wie kann ich diese Matrizen dann ich ein LGS bringen?
Bsp.:
[mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 },\pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }=\vmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }
[/mm]
in
[mm] \vmat{ 1 & 2 & 1 & 2 \\ 3 & 4 & 3 & 4 }=\vmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }
[/mm]
oder in
[mm] \vmat{ 1 & 1 = 1 \\ 2 & 2 = 2 \\ 3 & 3 = 3 \\ 4 & 4 = 4 }
[/mm]
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Hallo!
Beachte doch mal, wie man lin. Unabhängigkeit bei Vektoren beweist, und übertrage das ganze dann auf Matrizen. Hier hast du z.B. zwei Matrizen, die du prüfen willst:
[mm] a*\pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }+b*\pmat{ 5 & 6 \\ 7 & 8 }=\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }
[/mm]
Das sind vier einzelne Gleichungen:
a*1+b*5=0
a*2+b*6=0
a*3+b*7=0
a*4+b*8=0
Demnach bekommst du eher sowas ähnliches wie in deiner letzten Formel. Aber ich weiß gar nicht, ob das so der wahre Weg ist, um deine Matrizen zusammenzustellen.
Suche dir zunächst zwei Matrizen, die nicht lin abhängig voneinander sind, also nicht Vielfache voneinander. Sowas siehst du sofort.
Dann schnappst du dir eine dritte Matrix, und prüfst, ob sie NICHT durch die ersten beiden darstellbar ist. Auch das kannst du eigentlich im Kopf machen. Somit hast du schon drei der vier Matrizen.
Um eine vierte Matrix zu finden, schaust du einfach, ob die Gleichung [mm] aM_1+bM_2+cM_3=M_4 [/mm] lösbar ist. Ist sie es NICHT, hast du deine vierte Gleichung gefunden.
Das geht so innerhalb weniger Minuten, wenn du da zich Gleichungssysteme berechnen willst, bist du morgen noch dran.
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Okay gut danke. weil ich da noch ein anderes Problem hatte,wo ich dann die Basis angeben sollte:
[mm] B_2\vmat{ 2 & 3 \\ 0 & -1 },\vmat{ 1 & -3 \\ 0 & 2 },\vmat{ 5 & -2 \\ 0 & -10 },M=\vmat{ 2 & 2 \\ 0 & -1 }
[/mm]
Hier wollte ich das halt nach diesem LGS machen. Einfach nur einsetzen und gucken für welches [mm] x_1,x_2,x_3 [/mm] die Matrix M erfüllt ist, dauert ja auch ziemlich lange.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:58 So 02.12.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo dodov
Was ist die Frage?
Gruss
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Na eigentlich nur, ob ich das dann als LGS darstellen kann indem ich z.B.
[mm] \vmat{ 2 & 2 \\ 3 & 5 }\vmat{ 8 & 3 \\ 2 & 6 }=\vmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }
[/mm]
[mm] \vmat{ x_12 & x_28 \\ 3 & 4 = 1 } [/mm] usw. darstellen kann?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:08 So 02.12.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich zumindest weiss jetzt überhaupt nicht mehr was du willst???
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:32 Di 04.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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