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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:08 So 23.01.2005 | | Autor: | Semi85 |
Habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hi.
Habe eine Frage zur Bestimmung einer Basis.
Aufgabe:
V sei der Vektorraum der ganz-rationalen Fkt.en 4. Grades mit der Nullstelle 1.
Wie lautet die Basis von V?
Habe jetzt die Aufgabe s angefangen:
Für alle f [mm] \in [/mm] V gilt:
f(1)=0
[mm] \gdw (ax^{4}+bx^{3}+cx²+dx+e)(1)=0
[/mm]
[mm] \gdwe=-(a+b+c+d)
[/mm]
also
[mm] V={a(x^{4}-1)+b(x³-1)+c(x²-1)+d(x-1) | a,b,c,d\in \IR}
[/mm]
Ist das so richtig? Ist das jetzt die Basis oder was davon ist die Basis? Und wie schreibe ich das auf? Oder bin ich doch schon fertig..?
Gruss Semi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:09 So 23.01.2005 | | Autor: | Semi85 |
Sorry, habe mich in einer Zeile vertan, da muss
[mm] \gdw [/mm] e=-(a+b+c+d)
hin.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:11 Mo 24.01.2005 | | Autor: | Paulus |
Lieber Semi85
>
> Aufgabe:
>
> V sei der Vektorraum der ganz-rationalen Fkt.en 4. Grades
> mit der Nullstelle 1.
>
Ich denke mal, gemeint ist "Mit einer Nullstelle bei x=1"
> Wie lautet die Basis von V?
>
Was ist denn das für eine Frage?? Wer hat diese Aufgabe gestellt? Man kann doch nicht von der Basis reden, sondern von einer Basis!
> Habe jetzt die Aufgabe s angefangen:
>
> Für alle f [mm]\in[/mm] V gilt:
> f(1)=0
> [mm]\gdw (ax^{4}+bx^{3}+cx²+dx+e)(1)=0
[/mm]
> [mm]\gdwe=-(a+b+c+d)
[/mm]
>
> also
>
> [mm]V={a(x^{4}-1)+b(x³-1)+c(x²-1)+d(x-1) | a,b,c,d\in \IR}
[/mm]
>
>
> Ist das so richtig? Ist das jetzt die Basis oder was davon
> ist die Basis? Und wie schreibe ich das auf? Oder bin ich
> doch schon fertig..?
>
Ja das ist vollkommen richtig! ![[super]](/images/smileys/super.gif "[super]")
Aber ganz fertig bist du noch nicht.
Deine Funktion kannst du ja auffassen als Koordinatentupel $(a,b,c,d)$
Dazu gehört dann
die Funktion [mm] $x^4-1$ [/mm] als 1. Basisfunktion,
die Funktion [mm] $x^3-1$ [/mm] als 2. Basisfunktion,
die Funktion [mm] $x^2-1$ [/mm] als 3. Basisfunktion,
die Funktion $x-1_$ als 4. Basisfunktion.
Die Funktionen [mm] $x^4-1$, $x^3-1$, $x^2-1$ [/mm] und $x-1_$ bilden also eine Basis deiner Polynome. Sie sind aber nicht die einzige Basis! 
Mit lieben Grüssen
Paul
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