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Basis: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:00 Mo 28.03.2005
Autor: Moe007

Hallo,
ich hab hier eine Verständnisfrage zu dieser Aufgabe. Und zwar ist eine Basis (x1,x2,x3) des  [mm] \IR^{3} [/mm] gesucht, so dass {x1,x2,x3}  [mm] \cap [/mm] {e1,e2,e3} =  [mm] \emptyset [/mm] ist
Als Lösung wurde angegeben, dass man die  [mm] x_{i} [/mm] so wählen sollte:  [mm] x_{i}= [/mm] 2 [mm] e_{i} [/mm]

Ich versteh nicht, warum die Lösung so lauten kann. Die  [mm] x_{i} [/mm] sind doch ein Vielfaches der Einheitsvektoren. Dann wären sie doch linear abhängig und dann ist doch der Schnitt von beiden Mengen nicht leer oder?
Danke für die Hilfe.
Moe007

        
Bezug
Basis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:13 Mo 28.03.2005
Autor: mjp

Hi.

>  ich hab hier eine Verständnisfrage zu dieser Aufgabe. Und
> zwar ist eine Basis (x1,x2,x3) des  [mm]\IR^{3}[/mm] gesucht, so
> dass {x1,x2,x3}  [mm]\cap[/mm] {e1,e2,e3} =  [mm]\emptyset[/mm] ist
>  Als Lösung wurde angegeben, dass man die  [mm]x_{i}[/mm] so wählen
> sollte:  [mm]x_{i}=[/mm] 2 [mm]e_{i}[/mm]
>  
> Ich versteh nicht, warum die Lösung so lauten kann. Die  
> [mm]x_{i}[/mm] sind doch ein Vielfaches der Einheitsvektoren. Dann
> wären sie doch linear abhängig und dann ist doch der
> Schnitt von beiden Mengen nicht leer oder?

Der Schnitt zweier Mengen hat erstmal nichts mit linearer Abhaengigkeit zu tun.
[mm]e_{i}[/mm] und [mm]2*e_{i}[/mm] sind im mengentheoretischen Kontext zunaechst unterschiedliche Elemente,
denn eine Menge "erkennt" nicht, dass ein Vektor das Vielfache eines anderen ist.
Anders formuliert: Zwischen einem Vektor und seinem Vielfachen kann dort
vorderhand  keine Relation hergestellt werden, die es erlauben wuerde, auf
"Gleichheit" zu schliessen.

Vielleicht hilft Dir folgende Ueberlegung:
Wenn Du 3 linear unabhaengige Standardbasisvektoren des [mm]\IR^{3}[/mm] hast, kann es dann
einen weiteren Vektor geben, der von diesen dreien linear unabhaengig ist?

Gruss,
Monika.

Bezug
        
Bezug
Basis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:13 Mo 28.03.2005
Autor: Marcel

Hallo Moe!

> Hallo,
>  ich hab hier eine Verständnisfrage zu dieser Aufgabe. Und
> zwar ist eine Basis (x1,x2,x3) des  [mm]\IR^{3}[/mm] gesucht, so
> dass {x1,x2,x3}  [mm]\cap[/mm] {e1,e2,e3} =  [mm]\emptyset[/mm] ist

>  Als Lösung wurde angegeben, dass man die  [mm]x_{i}[/mm] so wählen
> sollte:  [mm]x_{i}=[/mm] 2 [mm]e_{i}[/mm]
>  
> Ich versteh nicht, warum die Lösung so lauten kann. Die  
> [mm]x_{i}[/mm] sind doch ein Vielfaches der Einheitsvektoren. Dann
> wären sie doch linear abhängig und dann ist doch der
> Schnitt von beiden Mengen nicht leer oder?

Schreib dir doch mal die Mengen hin (ich nenne sie jetzt [mm] $M_1$ [/mm] bzw. [mm] $M_2$): [/mm]
[m]M_1=\left\{e_1,\;e_2,\; e_3\right\}=\left\{\vektor{1\\0\\0}, \ \vektor{0\\1\\0}, \ \vektor{0\\0\\1}\right\}[/m].
[m]M_2=\left\{x_1,\;x_2,\;x_3\right\}=\left\{2e_1,\;2e_2,\;2e_3\right\} =\left\{\vektor{2\\0\\0}, \ \vektor{0\\2\\0},\ \vektor{0\\0\\2}\right\}[/m].

Und was ist nun [mm] $M_1 \cap M_2$? [/mm] Und warum ist [mm] $M_2$ [/mm] auch eine Basis des [mm] $\IR^3$? [/mm]

PS: Es gibt übrigens auch noch andere Möglichkeiten, eine solche Basis anzugeben:
Mit [m]\left\{\vektor{2\\0\\0},\ \vektor{1\\1\\0},\ \vektor{1\\1\\1} \right\}[/m] wäre z.B. eine weitere Lösung zu der Aufgabe gefunden...

Viele Grüße,
Marcel

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