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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:49 So 14.06.2009 | | Autor: | Fawkes |
| Aufgabe | | Man zeige: Zwei Vektoren aus [mm] V_{2}(K) [/mm] bilden genau dann eine Basis von [mm] V_{2}(K), [/mm] wenn keiner der beiden ein skalares Vielfaches des anderen ist. |
Hallo,
zu der aufgabe hab ich mir überlegt, dass da ja ne genau dann wenn aussage steht und ich somit sowohl die hin als auch die rückrichtung zeigen muss. zur hinrichtung hab ich mir gedacht will ich zeigen, dass die zwei vektoren keine basis bilden und zur rückrichtung das zwei vektoren skalare vielfache voneinander sind. leider weiß ich aber nich so richtig wie ich da überhaupt beginnen soll?
bin wie immer über jeden ratschlag glücklich. danke schon mal im vorhinein.
gruß fawkes
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> Man zeige: Zwei Vektoren aus [mm]V_{2}(K)[/mm] bilden genau dann
> eine Basis von [mm]V_{2}(K),[/mm] wenn keiner der beiden ein
> skalares Vielfaches des anderen ist.
> Hallo,
> zu der aufgabe hab ich mir überlegt, dass da ja ne genau
> dann wenn aussage steht und ich somit sowohl die hin als
> auch die rückrichtung zeigen muss.
Richtig. Du kannst die Behauptung auch einfach so schreiben:
Seien [mm] v_1,v_2\in [/mm] V. Dann gilt:
[mm] v_1,v_2 [/mm] bilden eine Basis [mm] \Leftrightarrow v_1 [/mm] ist nicht skalares Vielfaches von [mm] v_2.
[/mm]
> zur hinrichtung hab ich
> mir gedacht will ich zeigen, dass die zwei vektoren keine
> basis bilden und zur rückrichtung das zwei vektoren skalare
> vielfache voneinander sind.
Wenn ich das hier richtig verstehe, willst du also das Gegenteil zeigen.
Ich schlage vor, wir ordnen unsere Gedanken mal.
Also:
Hin-Richtung: Wir wissen, [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] bilden eine Basis des K-Vektorraums und wollen zeigen, dass kein Vektor skalares Vielfaches des anderen ist. Das kann man auch so schreiben:
[mm] v_1\neq \lambda v_2 [/mm] mit [mm] \lambda \in [/mm] K.
Was gilt denn, wenn Vektoren eine Basis bilden?
Rück-Richtung: Zeige [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] sind nicht skalares [mm] Vielfaches\Rightarrow v_1,v_2 [/mm] sind eine Basis des Vektorraums.
Bedenke, wann Vektoren eine Basis sind und betrachte die Gleichung [mm] v_1\neq \lambda v_2 [/mm] und versuche zu folgern.
Gruß Sleeper
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:50 So 14.06.2009 | | Autor: | Fawkes |
vektoren bilden eine basis wenn gilt:
1) die familie [mm] (v_{i}) [/mm] ist ein linear unabhängiges erzeugendensystem von V.
2) die familie [mm] (v_{i}) [/mm] ist ein minimales erzeugendensystem von V, d.h. lässt man irgendein [mm] v_{i} [/mm] aus der familie weg, so bilden die restlichen elemente der familie kein erzeugendensystem von V.
3) die familie [mm] (v_{i}) [/mm] ist eine maximal linear unabhängige familie in V, d.h. fügt man irgendein element von V zu der familie hinzu, so ist die erweiterte familie linear abhängig.
4) für jedes v [mm] \in [/mm] V existiert genau eine familie [mm] (c_{i})_{i \in I} [/mm] mit [mm] (c_{i}) \in [/mm] K und [mm] (c_{i})=0 [/mm] bis auf endlich viele i, so dass gilt
[mm] v=\summe_{i \in I}^{} c_{i} v_{i}
[/mm]
soll ich das jetzt mit hilfe der summen lösen oder mit einem der anderen punkte. blick da noch nich so ganz durch auch wenn ich deine erläuterungen bin hierhin eigentlich ganz gut nachvollziehen konnte.
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> vektoren bilden eine basis wenn gilt:
> 1) die familie [mm](v_{i})[/mm] ist ein linear unabhängiges
> erzeugendensystem von V.
> 2) die familie [mm](v_{i})[/mm] ist ein minimales erzeugendensystem
> von V, d.h. lässt man irgendein [mm]v_{i}[/mm] aus der familie weg,
> so bilden die restlichen elemente der familie kein
> erzeugendensystem von V.
> 3) die familie [mm](v_{i})[/mm] ist eine maximal linear unabhängige
> familie in V, d.h. fügt man irgendein element von V zu der
> familie hinzu, so ist die erweiterte familie linear
> abhängig.
> 4) für jedes v [mm]\in[/mm] V existiert genau eine familie
> [mm](c_{i})_{i \in I}[/mm] mit [mm](c_{i}) \in[/mm] K und [mm](c_{i})=0[/mm] bis auf
> endlich viele i, so dass gilt
> [mm]v=\summe_{i \in I}^{} c_{i} v_{i}[/mm]
Das ist sicherlich alles richtig, du solltest aber dazuschreiben, dass die Aussagen 1)-4) gleichwertig sind, d.h. wenn eine davon erfüllt ist, gelten die anderen auch.
Ums mal etwas zu vereinfachen. Was du dir wirklich merken solltest:
Vektoren [mm] v_1,...,v_n [/mm] bilden eine Basis des Vektorraums V, wenn sie
1. Alle paarweise linear unabhängig sind.
2. Ein Erzeugendensystem von V sind (d.h. jeder Vektor aus V muss Linearkombination der Basisvektoren sein.)
In deinem Fall hast du es aber noch viel einfacher. Du hast einen Vektorraum V gegeben, der die Dimension 2 hat. Und du hast 2 Vektoren gegeben. Wenn diese also linear unabhängig sind, dann sind sie auch ein Erzeugendensystem von V.
Mit meiner Frage: "Was gilt denn, wenn Vektoren eine Basis bilden?" wollte ich auf die lineare Unabhängigkeit der Vektoren hinaus.
So bevor es an den Beweis geht: Wann sind denn Vektoren linear unabhängig bzw. was muss dafür gelten?
Gruß Sleeper
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:50 So 14.06.2009 | | Autor: | Fawkes |
also soweit ich weiß muss doch gelten das zum beispiel für [mm] v_{1},...,v_{n} [/mm] die vektoren linear unabhängig sind wenn die linearkomination [mm] a_{1}v_{1}+...+a_{n}v_{n}=0 [/mm] ist. in meinem fall also [mm] a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}=0. [/mm]
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> also soweit ich weiß muss doch gelten das zum beispiel für
> [mm]v_{1},...,v_{n}[/mm] die vektoren linear unabhängig sind wenn
> die linearkomination [mm]a_{1}v_{1}+...+a_{n}v_{n}=0[/mm] ist. in
> meinem fall also [mm]a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}=0.[/mm]
Das reicht nicht. Eine Linearkombination kann man immer gleich null setzen.
Das besondere ist: Seien [mm] v_1,...,v_n [/mm] linear unabhängige Vektoren in V.
Seien [mm] \lambda_1,...,\lambda_n [/mm] Elemente in K.
Dann folgt aus: [mm] \lambda_1v_1+...+\lambda_n v_n=0, [/mm] dass [mm] \lambda_1=\lambda_2=...=\lambda_n=0.
[/mm]
Übrigens die Null, die hier auf der rechten Seite steht [mm] \lambda_1 v_1+...+\lambda_n v_n=0 [/mm] ist der Nullvektor.
Um es mal in Worte zu fassen: Die Vektoren [mm] v_1,...,v_n [/mm] heißen linear unabhängig, wenn du sie nur trivial zum Nullvektor kombinieren kannst.
So viel zur Theorie. Nun mal ein Beispiel:
Betrachte die Vektoren: [mm] v_{1}=\begin{pmatrix}1\\
2\end{pmatrix},v_{2}=\begin{pmatrix}2\\
4\end{pmatrix}. [/mm] Sind sie linear unabhängig? Nein, denn [mm] \lambda_{1}v_{1}+\lambda_{2}v_{2}=0\Rightarrow [/mm] Setze für [mm] \lambda_{1}=2,\lambda_{2}=-1 [/mm] Also nicht alle [mm] \lambda_i=0!
[/mm]
Jetzt wieder zu deinem Beweis:
Hin-Richtung: Seien [mm] v_1,v_2 [/mm] Basisvektoren [mm] (\neq [/mm] 0). Dann sind [mm] v_1,v_2 [/mm] linear unabhängig!
Nimm nun an es gibt ein [mm] \lambda\in K\backslash\{\text{0\}}, [/mm] so dass gilt: [mm] v_1=\lambda v_2.
[/mm]
Was folgt aus dieser Gleichung? Und warum kann das nicht sein?
Gruß Sleeper
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:32 So 14.06.2009 | | Autor: | Fawkes |
da [mm] v_{1} [/mm] und [mm] v_{2} [/mm] linear unabhängig sind, kann man als bsp [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] nehmen. nimmt man nun an, dass der eine vektor als vielfaches des anderen dargestellt werden kann so erhält man einen widerspruch: [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] = [mm] \lambda \vektor{0 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ \lambda} \not= \vektor{1 \\ 0}. [/mm] reicht das soweit dann schon oder muss das allgemein irgendwie gemacht werden?
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> da [mm]v_{1}[/mm] und [mm]v_{2}[/mm] linear unabhängig sind, kann man als bsp
> [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm] und [mm]\vektor{0 \\ 1}[/mm] nehmen. nimmt man nun
> an, dass der eine vektor als vielfaches des anderen
> dargestellt werden kann so erhält man einen widerspruch:
> [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm] = [mm]\lambda \vektor{0 \\ 1}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ \lambda} \not= \vektor{1 \\ 0}.[/mm]
> reicht das soweit dann schon oder muss das allgemein
> irgendwie gemacht werden?
Das kannst du dir allenfalls als Gedankenstütze so vorstellen. Es ist kein Beweis, denn du musst die Aussage ja für jede Basis zeigen und nicht nur für die in deinem Beispiel. Deshalb muss man es allgemein formulieren.
Ich schreibe dir jetzt noch einmal alles hin, was du für [mm] "\Rightarrow" [/mm] brauchst, mit einigen Hinweisen. Was du dann nur noch tun musst, ist eine Gleichung umzustellen!
[mm] "\Rightarrow" [/mm] Seien [mm] v_1,v_2 [/mm] Basisvektoren [mm] \in [/mm] V. (Hinweis: Dann gilt: [mm] \lambda_1 v_1+\lambda_2 v_2=0\Rightarrow \lambda_1=\lambda_2=0!!!). [/mm]
Mache einen Beweis durch Widerspruch: Angenommen [mm] (v_1,v_2 [/mm] sind immer noch Basis) [mm] v_2 [/mm] ist skalares Vielfaches von [mm] v_1, [/mm] d.h. [mm] v_1=\lambda v_2, [/mm] wobei [mm] \lambda \in [/mm] K und [mm] \neq [/mm] 0(!!!).
Ich schreibe dir diese Gleichung vllt noch etwas anders hin:
[mm] 1\cdot v_1=\lambda v_2.
[/mm]
Was fängst du mit dieser Gleichung an? Und wozu ist das ein absoluter Widerspruch?
Wenn du das hast, dann kannst du also folgern: Wenn [mm] v_1,v_2 [/mm] Basis ist, dann kann [mm] v_2 [/mm] kein skalares Vielfaches von [mm] v_1 [/mm] sein!
Die Rückrichtung ist dann genauso einfach.
Gruß Sleeper
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:06 So 14.06.2009 | | Autor: | Fawkes |
also in dem fall dachte ich zuerst, das man das ganze mit einsetzen in die erste gleichung und anschließendem umklammern lösen kann, bis mir dann aufgefallen ist, dass die bedingung also [mm] 1\cdot v_1=\lambda v_2 [/mm] ja durch umformung auch in die form [mm] \lambda_1 v_1+\lambda_2 v_2=0\Rightarrow \lambda_1=\lambda_2=0 [/mm] gebracht werden kann. formt man also mal um dann ergibt sich ja [mm] 1\cdot v_1+(-\lambda) v_2=0\Rightarrow 1=-\lambda=0 [/mm] und das wäre ja dann der widerspruch. ist das soweit auch das was du wolltest das ich mache?
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> also in dem fall dachte ich zuerst, das man das ganze mit
> einsetzen in die erste gleichung und anschließendem
> umklammern lösen kann, bis mir dann aufgefallen ist, dass
> die bedingung also [mm]1\cdot v_1=\lambda v_2[/mm] ja durch
> umformung auch in die form [mm]\lambda_1 v_1+\lambda_2 v_2=0\Rightarrow \lambda_1=\lambda_2=0[/mm]
Also die [mm] \lambda_i [/mm] sind hier einfach irgendwelche Körperelemente. Wenn du eine Gleichung hast [mm] 3v_1+15v_2=0, [/mm] dann entspräche [mm] \lambda_1=3 [/mm] und [mm] \lambda_2=15. [/mm] Nur um das nochmal zu verdeutlichen. Aber wir wollen ja nicht exemplarisch, sondern allgemein beweisen.
> gebracht werden kann. formt man also mal um dann ergibt
> sich ja [mm]1\cdot v_1+(-\lambda) v_2=0
Bis hierhin ist es noch korrekt!
> \Rightarrow 1=-\lambda=0[/mm]
??? Wie kann [mm] \lambda=-1 [/mm] und zugleich 0 sein. Das ist nicht der Widerspruch. Wir haben doch vorausgesetzt, das [mm] \lambda \in [/mm] K sein soll und [mm] \neq [/mm] 0.
Und vor unserem [mm] v_1 [/mm] steht doch eine 1. Das habe ich extra noch einmal betont. Wir haben doch vorausgesetzt, dass [mm] v_1,v_2 [/mm] lin. unabhängig sein soll, d.h. der Nullvektor ergibt sich nur, wenn man jeden Vektor in der Summe mit einem Faktor 0 versieht, etwa so: [mm] 0v_1+0v_2=0, [/mm] oder besser, aus [mm] \lambda_1 v_1+\lambda_2 v_2=0 [/mm] folgt [mm] \lambda_1=\lambda_2=0!
[/mm]
Was steht bei uns vor [mm] v_1? [/mm] Genau 1 und vor [mm] v_2 [/mm] steht [mm] \lambda\neq [/mm] 0.
Also gilt ja [mm] \lambda [/mm] _1 (=1) [mm] v_1+\lambda_2 (=\lambda) v_2=0 [/mm] und es folgt nicht [mm] \lambda_1=\lambda_2=0.
[/mm]
Da ist der Widerspruch, also kann [mm] v_1=\lambda v_2 [/mm] nicht richtig sein und man muss das Gleichheitszeichen durch ein Ungleich ersetzen.
So nun mach du mal die Richtung [mm] "\Leftarrow".
[/mm]
Gruß Sleeper
> und das wäre ja dann der widerspruch. ist das soweit auch
> das was du wolltest das ich mache?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:53 So 14.06.2009 | | Autor: | Fawkes |
also bevor ich mit der rückrichtung anfange würde ich gerne noch einmal die hinrichtung klären. eigentlich dachte ich, ich hätte es nach meiner letzten antwort halbwegs verstanden, nur nach deiner antwort bin ich nun wieder etwas verwirrt. vielleicht liegt das aber auch daran, dass ich mich ein wenig schlecht ausgedrückt hab und es dadruch für dich unverständlich war. also ich versuche jetzt noch mal meine letzte antwort chronologisch und verständlich aufzuschreiben, damit ich weiß ob ich jetzt kompletten blödsinn gedacht oder doch halbwegs richtig war.
also in deiner nachricht hattest du geschrieben, dass [mm] \lambda_1 v_1+\lambda_2 v_2=0\Rightarrow \lambda_1=\lambda_2=0 [/mm] gelten muss.
da ja nach voraussetzung [mm] 1\cdot v_1=\lambda v_2 [/mm] gilt folgt nach umformung [mm] 1\cdot v_1+(-\lambda) v_2=0.
[/mm]
da ja [mm] \lambda_1=\lambda_2=0 [/mm] gelten soll ist [mm] \Rightarrow \lambda_1=1 [/mm] und [mm] \lambda_2 [/mm] = [mm] -\lambda. [/mm] setzt man jetzt [mm] \lambda_1 [/mm] und [mm] \lambda_2 [/mm] in die gleichung [mm] \lambda_1=\lambda_2=0 [/mm] ein dann müsste ja [mm] \lambda_1=1=0 [/mm] sein und das wäre doch ein widerspruch. der zweite widerspruch wäre dann [mm] \lambda_2=-\lambda=0 [/mm] da ja laut voraussetzung das [mm] \lambda \not= [/mm] 0 sein sollte.
wenn das jetzt nich richtig ist, kannst du dann wohl noch einmal erklären warum das falsch ist und wo mein gedankenfehler ist?
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> also in deiner nachricht hattest du geschrieben, dass
> [mm]\lambda_1 v_1+\lambda_2 v_2=0\Rightarrow \lambda_1=\lambda_2=0[/mm]
> gelten muss.
> da ja nach voraussetzung [mm]1\cdot v_1=\lambda v_2[/mm] gilt folgt
> nach umformung [mm]1\cdot v_1+(-\lambda) v_2=0.[/mm]
> da ja
> [mm]\lambda_1=\lambda_2=0[/mm] gelten soll ist [mm]\Rightarrow \lambda_1=1[/mm]
> und [mm]\lambda_2[/mm] = [mm]-\lambda.[/mm] setzt man jetzt [mm]\lambda_1[/mm] und
> [mm]\lambda_2[/mm] in die gleichung [mm]\lambda_1=\lambda_2=0[/mm] ein dann
> müsste ja [mm]\lambda_1=1=0[/mm] sein und das wäre doch ein
> widerspruch. der zweite widerspruch wäre dann
> [mm]\lambda_2=-\lambda=0[/mm] da ja laut voraussetzung das [mm]\lambda \not=[/mm]
> 0 sein sollte.
Wir meinen schon das Selbe.
Also gedanklich ist das natürlich richtig, bloß aufschreiben würde ich das so nicht. Vielleicht habe ich das mit den Lambdas auch etwas blöd erklärt.
Wenn du an der Stelle bist [mm] v_1-\lambda v_2=0 [/mm] bist du fertig. Das musst du dann vernünftig begründen bzw. aufschreiben.
Wenn du das so machen möchtest wie du das machen wolltest (komischer Satz sry) dann schreib am Besten [mm]\lambda_1=1\neq 0[/mm] usw., d.h. [mm] \lambda_1 [/mm] ist nicht 0 wie gefordert.
Und dann ist das ein Widerspruch zur Voraussetzung der linearen unabhängigkeit.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:34 So 14.06.2009 | | Autor: | Fawkes |
gut dann bin ich ja schon mal etwas beruhigt :) nun zur rückrichtung:
dafür muss ja gelten, dass wenn [mm] v_1\not=\lambda v_2 [/mm] ist, dann sind die beiden vektoren eine basis.
kann ich das dann wieder umstellen und wieder nach 0 lösen oder mach ich das wieder über den widerspruch? wenn ich das aber wieder über [mm] v_1=\lambda v_2 [/mm] mache dann ist das doch identisch mit der hinrichtung oder?
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> dafür muss ja gelten, dass wenn [mm]v_1\not=\lambda v_2[/mm] ist,
> dann sind die beiden vektoren eine basis.
Sie müssen also linear unabhängig sein.
> kann ich das dann wieder umstellen und wieder nach 0 lösen
> oder mach ich das wieder über den widerspruch? wenn ich das
> aber wieder über [mm]v_1=\lambda v_2[/mm] mache dann ist das doch
> identisch mit der hinrichtung oder?
Deine Voraussetzung ist nun [mm] v_1\neq\lambda v_2. [/mm] Du kannst jetzt also nicht die Voraussetzung umschreiben und = statt [mm] \neq [/mm] einfügen. Dann könntest du auch höchstens beweisen, dass [mm] v_1,v_2 [/mm] keine Basis ist, woraus noch nicht unsere Aussage folgen würde.
Eigentlich ist das was du zeigen sollst sehr trivial, d.h. es würde auch schon ein Satz reichen, mit dem du die Aussage begründest. Aber zum Üben ist das vllt. garnicht so schlecht.
Wir arbeiten am Besten wieder mit Widerspruch:
Es gilt also [mm] \mu v_1\neq\lambda v_2 [/mm] (wobei ich erwähnen sollte, dass [mm] \mu [/mm] auch 1 sein kann), mit [mm] \Lambda,\mu\neq [/mm] 0 (das ist hier wichtig).
Unsere Voraussetzung ist äquivalent zu [mm] v_1\neq \frac{\lambda}{\mu}v_2.
[/mm]
Dann Annahme: Die Vektoren [mm] v_1,v_2 [/mm] sind linear abhängig und [mm] \neq [/mm] 0, bilden also keine Basis, also [mm] \mu v_1+\lambda v_2=0 [/mm] und es folgt [mm] \mu,\lambda\neq [/mm] 0. Wie siehts weiter aus?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:30 Mo 15.06.2009 | | Autor: | Fawkes |
ich hoffe mal du erwartest jetzt nich noch eine lange rechnung von mir, weil ich ab der stelle, wo du "wie siehts jetzt weiter aus?" geschrieben hast, nur noch einmal die gleichung [mm] \mu v_1+\lambda v_2=0 [/mm] umstellen würde, also [mm] \mu v_1=-\lambda v_2 [/mm] und damit ja dann schon den widerspruch zur voraussetzung hätte, die eben besagt, dass [mm] \mu v_1\not=-\lambda v_2 [/mm] sein muss.
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> ich hoffe mal du erwartest jetzt nich noch eine lange
> rechnung von mir, weil ich ab der stelle, wo du "wie siehts
> jetzt weiter aus?" geschrieben hast, nur noch einmal die
> gleichung [mm]\mu v_1+\lambda v_2=0[/mm] umstellen würde, also [mm]\mu v_1=-\lambda v_2[/mm]
> und damit ja dann schon den widerspruch zur voraussetzung
> hätte, die eben besagt, dass [mm]\mu v_1\not=-\lambda v_2[/mm] sein
> muss.
Ne keine lange Rechnung. Habe ja gesagt, dass es trivial ist.
Das was du gemacht hast ist vollkommen richtig. Wie gesagt, nur immer erwähnen, dass die Koeffizienten nicht null sind.
Damit hast du es dann geschafft.
Gruß Sleeper
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:01 Mo 15.06.2009 | | Autor: | Fawkes |
klasse vielen dank für deine hilfe und deine mühe :) ich glaub jetzt kann ich gleich auch gut schlafen^^
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Hallo!
Prinzipiell kannst du es zeigen, wie du möchtest. Aber ich glaube es ist am einfachsten, wenn du den Ansätzen [mm] v_{1} \not= \lambda \* v_{2} [/mm] zeigst.
Vielleicht vorab noch, wenn du [mm] v_{1},... [/mm] verwendest, dann definiere sie kurz. Gib einfach an, woher du sie nimmst und woher [mm] \lambda [/mm] kommt. Ist zwar nur eine Kleinigkeit, aber bei uns legen die Korrektoren immer viel wert auf diese Sachen.
Nun zum Beweis:
Vielleicht hilft dir dieser Ansatz weiter...
Sei [mm] v_{1}, v_{2} [/mm] linear unabhängig und [mm] \summe_{i=1}^{2} \lambda_{i} \* v_{i}, [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{2} \mu \* v_{i}. [/mm] Ich würde an dieser Stelle die [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu [/mm] ausklammern und den Term gleich 0 setzen.
LG Pippi
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