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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:05 Mo 07.02.2011 | | Autor: | Karander |
HI, ich hab da mal wieder eine Frage. Wenn ich die Basis eines Gebildes angeben will, muss diese dann das gesamte Ding erzeugen (wie ein Erzeugendensystem) oder reicht auch nur ein Teil davon?
Bsp: Geg sei eine Menge M von pol-fkt 3ten Grades für die gilt: f(y)=f(z)=0 ( y=0 und z=1 )
Gebe eine Basis von M an
Reicht es hier wenn ich versuche z.b. (0,x-x²,0x³) als eine Basis zu verkaufen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> HI, ich hab da mal wieder eine Frage. Wenn ich die Basis
> eines Gebildes angeben will, muss diese dann das gesamte
> Ding erzeugen (wie ein Erzeugendensystem) oder reicht auch
> nur ein Teil davon?
Eine Basis ist ein Spezialfall eines Erzeugendensystem, muss also den ganzen Vektorraum aufspannen.
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> Bsp: Geg sei eine Menge M von pol-fkt 3ten Grades für die
> gilt: f(y)=f(z)=0 ( y=0 und z=1 )
> Gebe eine Basis von M an
>
> Reicht es hier wenn ich versuche z.b. (0,x-x²,0x³) als
> eine Basis zu verkaufen?
Falls jedes Element des Tupels jetzt ein Basisvektor sein soll, so ist das keine Basis. An erster und dritter Stelle hast du doch jeweils das Nullpolynom. Eine Basis ist ein maximal linear unabhaengiges Erzeugendensystem, das Nullpolynom ist aber immer linear abhaengig.
Ein Polynom P(x) mit den Nullstellen 0 und 1 laesst sich zerlegen in [mm]P(x)=x(x-1)\cdot r(x)[/mm], wobei [mm] r(x)\neq [/mm] 0 das Restpolynom ist. Wegen dem ersten Teil siehst du schon, dass [mm] x^2-x [/mm] zum Loesungsraum gehoert, das kann also schon ein Basisvektor sein. [mm] x^3-x^2 [/mm] ist aber auch ein Polynom, was die beiden Nullstellen hat, also fehlt noch mindestens ein Basisvektor.
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
Kamaleonti
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:37 Mo 07.02.2011 | | Autor: | Karander |
Also wenn ich es richtig verstanden hab würde die Basis hier B=(x-x², x²-x³, x³-x) sein und ist immer eindeutig, richtig?
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> Also wenn ich es richtig verstanden hab würde die Basis
> hier B=(x-x², x²-x³, x³-x) sein und ist immer eindeutig, richtig?
Nein, prüfe deine Basis einmal auf lineare Unabhängigkeit.
Basen sind fast nie eindeutig.
Bei Polynomen kannst du doch einfach einen Basisvektor mit einem Skalar [mm] \neq0,1 [/mm] multiplizieren und schon hast du eine neue Basis.
Kamaleonti
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