Basis + jordansche Normalform < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:30 Mo 21.07.2008 | | Autor: | Shee-La |
| Aufgabe | Sei f: [mm] \IC^{3} \to \IC^{3} [/mm] die lineare Abbildung zu der Matrix
[mm] \pmat{ 4 & -5 & 2 \\ 5 & -7 & 3 \\ 6 & -9 & 4 }
[/mm]
Bestimmen Sie eine Basis A von [mm] \IC^{3}, [/mm] so dass [mm] M_{f,A,A} [/mm] jordansche Normalform hat. |
Hallo,
ich weiß absolut nicht wie ich damit umgehen soll habe ich das Gefühl. Basis bestimmt würde ich ja vielleicht noch schaffen, aber das mit der jordanschen Normalform klappt dann nicht mehr. Wäre dankbar, wenn jemand mir helfen könnte. LA ist ein rotes Tuch für mich.
Gruß Shee-La
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:42 Mo 21.07.2008 | | Autor: | Framl |
Hier ist eine ziemlich gute Erklärung:
http://www.danielwinkler.de/la/jnfkochrezept.pdf
Besser kann man es ja auch nicht erklären 
Gruß Framl
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:07 Di 22.07.2008 | | Autor: | Shee-La |
Okay tut mir leid, aber leider komm ich mit diesem Kochrezept irgendwie absolut nicht weiter :( Kann mir das vielleicht jemand Schritt für Schritt erklären?
Gruß Shee-La
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Hallo!
> Okay tut mir leid, aber leider komm ich mit diesem
> Kochrezept irgendwie absolut nicht weiter :( Kann mir das
> vielleicht jemand Schritt für Schritt erklären?
>
> Gruß Shee-La
Um die Jordan-Normalform zu bestimmen (bzw. eine ensprechende Basis, welche A in JNF bringt), musst du zunächst
1. die Eigenwerte von der Ausgangsmatrix A bestimmen
Dann kann man schon gewisses folgern. Hat A
- Nur verschiedene Eigenwerte: --> A ist Diagonalisierbar --> Bestimme zu jedem Eigenwert die Basis (_ein_ Vektor) des zugehörigen Eigenraums --> Alle 3 Vektoren zusammen ergeben die gesuchte Basis.
- Nicht nur verschiedene Eigenwerte (d.h. irgendein Eigenwert hat alg. Vielfachheit > 1): -->Bestimme zunächst zu jedem Eigenwert die Basis des zugehörigen Eigenraums.
- Entspricht die algebraische Vielfachheit jedes Eigenwertes der geometrischen Vielfachheit, so ist A diagonalisierbar --> Die einzelnen Basisvektoren der Eigenräume ergeben die gesuchte Basis.
- Entspricht die algebraische Vielfachheit jedes Eigenwertes _nicht_ der geometrischen Vielfachheit (Das dürfte normalerweise der Fall sein), dann suche jetzt in deinem Vorlesungshefter, was du zu tun hast! (Es gibt verschiedene Möglichkeiten, auf die Basis zu kommen, deswegen möchte ich dir jetzt nicht eines meiner Konzepte "aufdrängen"  )
Trotzdem hier schonmal eine Möglichkeit, damit die Frage als "beantwortet" gilt: Ich verrate mal: Du hast einen EW [mm] \lambda_{1} [/mm] mit alg.V. = 1 und einen EW [mm] \lambda_{2} [/mm] mit alg.V. = 2. Da du zu jedem eine Basis der zugehörigen Eigenräume (beide sind eindimensional, ein weiterer Tipp!) bestimmt hast, kennst du nun schon zwei von dreien deiner benötigten Basisvektoren [mm] u_{1} [/mm] und [mm] u_{2}. [/mm] Den dritten erhältst du, indem du das LGS (A - [mm] \lambda_{1}E)*u_{3} [/mm] = [mm] u_{2} [/mm] löst. Eine Basis des Lösungsraumes ergibt den fehlenden Basisvektor [mm] u_{3}.
[/mm]
Alle drei Basisvektoren zusammen ergeben dann die Transformationsmatrix S:
S := [mm] \pmat{ | & | & | \\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \\ | & | & | }
[/mm]
welche dann mit A zusammen die JNF bilden kann:
J := [mm] S^{-1}*A*S
[/mm]
Stefan.
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