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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:37 Mo 16.01.2012 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | Es sei [mm] P_{d} [/mm] der reelle Vektorraum der reellen Polynome vom Grad [mm] \le [/mm] d. Weiter seien [mm] a_{0},...,a_{d} \in [/mm] IR paarweise verschieden. Wir definieren [mm] \varepsilon_{a_1} \in P_{d} [/mm] ^ : [mm] P_{d}-->IR, [/mm] f [mm] \mapsto \overline{f} (a_{i}) [/mm] für alle i [mm] \in [/mm] {0,...,d}, wobei [mm] \overline{f} [/mm] die Polynomfunktion zu f ist. Zeigen Sie, dass [mm] (\varepsilon_{a0},...,\varepsilon{a_d}) [/mm] eine Basis von [mm] P_{d} [/mm] ^ ist.
Hinweis: Finden Sie eine Basis B = [mm] (l_{0},...,l_{d}) [/mm] von [mm] P_{d}, [/mm] sodass [mm] \overline{l}_{i}(a_{j}) [/mm] = [mm] \delta_{ij} \forall [/mm] i,j [mm] \in [/mm] {0,...,d} |
Hallo,
hätte mal wieder eine Aufgabe bei der ich leider keinen Ansatz finde...
Mir ist zwar klar, dass man, wenn man zeigen soll, dass etw eine Basis ist, zeigt , dass es ein linear unabhängiges Erzeugendensystem ist, aber in diesem Fall komme ich damit nicht weiter...
Zur Notation: [mm] P_{d} [/mm] ^ soll der Dualraum sein.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:39 Di 17.01.2012 | | Autor: | hippias |
Es empfiehlt sich ja haeufig mit einer Basis des Vekorraumes zu rechnen: Wenn also [mm] $\sum_{i=0}^{d} \lambda_{i}\varepsilon_{a_{i}}= [/mm] 0$ ist, dann gilt $0= [mm] \sum_{i=0}^{d} \lambda_{i}\varepsilon_{a_{i}}(x^{j})= \sum_{i=0}^{d} \lambda_{i}a_{i}^{j}$. [/mm] Die weitere Auswertung dieses LGS wird Dir erleichtert,wenn Du schon einmal etwas ueber die Vandermonde Matrix gehoert hast. Kennst Du zusaetzlich die Dimension des Dualraumes, weisst Du damit auch, dass der Aufspann der gesamte Raum sein muss.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:18 Di 17.01.2012 | | Autor: | rollroll |
Nun ja, die V.-Matrix hatten wir noch nicht eingeführt, aber ich hab's mal nachgeschlagen. Ich verstehe da jetzt aber nicht ganz den Zusammenhang...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:31 Mi 18.01.2012 | | Autor: | hippias |
Der Zusammenhang ist wie folgt: Wir wollen das LGS
$ 0= [mm] \sum_{i=0}^{d} \lambda_{i}\varepsilon_{a_{i}}(x^{j})= \sum_{i=0}^{d} \lambda_{i}a_{i}^{j}$ [/mm] nach [mm] $\lambda_{i}$ [/mm] aufloesen. Die Koeffizientenmatrix davon ist eine Vandermonde-Matrix.
Aber man kann das LGS natuerlich auch untersuchen, ohne jemals etwas von Vandermonde gehoert zu haben. Dann wuerde ich vermutlich induktiv vorgehen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:11 Mi 18.01.2012 | | Autor: | rollroll |
Wäre es zu viel verlangt, wenn ich dich bitte, die Koeffizientenmatrix mal hinzuschreiben. Also wie die Vandermonde-Matrix aussieht (und wie man ihre det berechnet) verstehe ich ja. Ich weiß aber nicht, wie man das ganze nach [mm] \ambda [/mm] _i auflösen soll bzw. weshalb man so zeigen kann, dass damit die ursprüngliche Frage (Zeige, dass Basis...) beantwortet ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:09 Do 19.01.2012 | | Autor: | rollroll |
Gibt's keine weiteren Ideen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:38 Do 19.01.2012 | | Autor: | hippias |
> Wäre es zu viel verlangt, wenn ich dich bitte, die
> Koeffizientenmatrix mal hinzuschreiben. Also wie die
> Vandermonde-Matrix aussieht (und wie man ihre det
> berechnet) verstehe ich ja. Ich weiß aber nicht, wie man
> das ganze nach [mm]\ambda[/mm] _i auflösen soll bzw. weshalb man so
> zeigen kann, dass damit die ursprüngliche Frage (Zeige,
> dass Basis...) beantwortet ist.
Naja, ein bisschen zu viel verlangt ist es schon...
Das LGS ist ausfuehrlich geschrieben:
[mm] $\pmat{ \lambda_{1}+ & \ldots + & \lambda_{d} & =0 \\ \lambda_{1}a_{0}+ & \ldots + & \lambda_{d} a_{d-1} & = 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ \lambda_{1}a_{0}^{d-1}+ & \ldots + & \lambda_{d} a_{d-1}^{d-1} & = 0 }$.
[/mm]
Wenn Du die lineare Unabhaengigkeit nachgewiesen hast, bist Du, wie bereits erwaehnt, fertig.
Du kannst aber auch den Hinweis ausnutzen, indem Du die entsprechende Basis [mm] $l_{0},\ldots, l_{d-1}$ [/mm] konstruierst. Dazu wirst Du unter dem Stichwort Lagrange-Polynome bzw. Lagrange-Interpolation fuendig werden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:37 Do 19.01.2012 | | Autor: | rollroll |
Aber wie bringt man diese Matrix auf Zeilen-Stufen-Form?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:52 Do 19.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Man experimentiert mal erst mit d=2 und d=3
oder sieht sich das erst mal auf ner einfachen Basis an.
Gruss leduart
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