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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:07 Di 20.07.2010 | | Autor: | peeetaaa |
| Aufgabe | | Berechnen Sie die Basisvektoren des Kerns zu [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0} [/mm] |
Hallo zusammen,
also irgendwie hab ich so meine Probleme mit der Berechnung des Basisvektoren von Kernen, deshalb wollte ich fragen ob mir hier vllt jemand helfen kann.
Also meine Umgeformte Matrix hat folgendes ergeben:
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0}
[/mm]
jetzt hab ich folgendes aufgestellt:
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0} [/mm] * [mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
hab jetzt folgendes gesagt, da nur in den ersten 3 spalten der zweiten zeile einträge stehen setze ich [mm] x_4=t
[/mm]
Daraus ergeben sich die gleichungen:
[mm] x_1- 2x_2 -x_3 [/mm] +0t=0
=> [mm] x_1= 2x_2 +x_3
[/mm]
[mm] 2x_2= x_1 -x_3
[/mm]
[mm] x_3= x_1 -2x_2
[/mm]
ist das bis hierhin richtig und wenn ja wie mach ich weiter?
ich weiß ja aus der umgeformten matrix, dass mein Kern die Dimension 3 haben muss aber iwie komm ich da nicht weiter...
wäre toll wenn mir jmd helfen könnte!!
gruß,
peeetaaa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:30 Di 20.07.2010 | | Autor: | Lippel |
> Berechnen Sie die Basisvektoren des Kerns zu [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0}[/mm]
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> Hallo zusammen,
>
> also irgendwie hab ich so meine Probleme mit der Berechnung
> des Basisvektoren von Kernen, deshalb wollte ich fragen ob
> mir hier vllt jemand helfen kann.
>
> Also meine Umgeformte Matrix hat folgendes ergeben:
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0}[/mm]
>
> jetzt hab ich folgendes aufgestellt:
>
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0}[/mm]
> * [mm]\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> hab jetzt folgendes gesagt, da nur in den ersten 3 spalten
> der zweiten zeile einträge stehen setze ich [mm]x_4=t[/mm]
> Daraus ergeben sich die gleichungen:
> [mm]x_1- 2x_2 -x_3[/mm] +0t=0
> => [mm]x_1= 2x_2 +x_3[/mm]
> [mm]2x_2= x_1 -x_3[/mm]
> [mm]x_3= x_1 -2x_2[/mm]
>
> ist das bis hierhin richtig und wenn ja wie mach ich
> weiter?
Das ist bis hierhin richtig, führt aber auf diese Weise nicht weiter. Du kannst ja sicher erkennen, dass du drei Unbekannte aber nur eine Gleichung hast, das lässt sich natürlich nicht eindeutig lösen. Soll es aber auch gar nicht, denn dann hätte dein Kern ja Dimension 0.
Du kannst nun Variablen einführen, z.b. für [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] und dann in Abhängigkeit dieser die dritte Komponente ausdrücken, so kommst du auf einen Untervektorraum der Dimension 2, der im Kern liegt. Beachten musst du nun noch, dass auch die Lineare Hülle von [mm] $e_4$ [/mm] im Kern liegt, was man sofort aus derm Gleichungssystem erkennt. Setzt man die Einträge [mm] $x_1,x_2,x_3$ [/mm] auf null und wählt [mm] $x_4$ [/mm] beliebig, so erhält man immer den Nullvektor.
Dieses Verfahren ist allerdings sehr mühsam. Es geht hier viel einfacher.
Allgemein kann man aus der strengen Zeilenstufenform (SZSF) einer Abbildungsmatrix einer linearen Abbildung sehr leicht den Kern bestimmen. (Falls ihr das nicht gemacht habt, kannst du ja kurz nachschlagen, was die SZSF ist.):
1. Streiche alle Nullzeilen:
[mm]\Rightarrow \pmat{ 1 & -2 & -1 & 0 }[/mm]
2. Bringe die Matrix so auf quadratische Form, dass überall dort, wo keine Pivotelemente stehen eine -1 eingefügt wird. (schreibe also dort wo die Diagonale unbesetzt ist -1 hin und fülle den Rest mit 0 auf):
[mm]\Rightarrow \pmat{ 1 & -2 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1}[/mm]
3. Nun steht in den Spalten, in denen du die -1 eingefügt hast, die Basis deines Kerns, hier also:
[mm]\vektor{-2 \\ -1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{-1 \\ 0 \\ -1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ -1} [/mm]
Ich hoffe das war einigermaßen Verständlich erklärt. Das Verfahren funktioniert immer, nur dass du unter Umständen die Matrix vorher auf SZSF bringen musst.
Viele Grüße, Lippel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:06 Mi 21.07.2010 | | Autor: | peeetaaa |
Hey,
danke für die ausführliche Erklärung!! Werds mir merken!
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