Basis Kern und Bild bestimmen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:51 Mi 08.05.2013 | | Autor: | MissJule |
| Aufgabe | Sei f: M_22(IR) -> IR [T] definiert durch
f [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] = [mm] (a+b)+(a+b)*T+(a+b+c+d)*T^{2} [/mm] für alle [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] in M_22 (IR)
Beweisen Sie, dass f linear ist.
Berechnen Sie eine Basis von Kern (f) und von Bild (f). |
Hallo,
ich komme bei obiger Aufgabe nicht mehr weiter mit der Bestimmung vom Kern (f).
Bisher habe ich folgendes:
Der Beweis der Linearität ist kein Problem.
Bestimmung von Bild(f):
[mm] e_{11} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }, e_{12} [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }, e_{21} [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 }, e_{22} [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }ist [/mm] die kanonische Basis von [mm] IR^{2}
[/mm]
Somit komme ich auf:
Bild (f) = < [mm] f(e_{11}, f(e_{12}), f(e_{21}), f(e_{22}) [/mm] >
Einsetzen der kanonischen Basis ergibt:
Bild (f) = < [mm] 1+T+T^{2}, 1+T+T^{2}, T^{2}, T^{2} [/mm] >
Meine Idee: beweisen dass < [mm] 1+T+T^{2}, T^{2} [/mm] > linear unabhängig sind (also [mm] a*(1+T+T^{2}) [/mm] + [mm] b*(T^{2})= [/mm] 0, das wäre dann die Basis, mit Dim(Bild(f)=2.
Hier weiß ich auch nicht so recht wie ich das LGS aufstellen soll, hat da jemand einen Tipp für mich?
Dann: Dim (Definitionsbereich) = Dim(Kern(f))+Dim(Bild(f))
4 = Dim (Kern(f)) + 2
also Dim(Kern(f) = 2
Und jetzt bin ich mir absolut nicht mehr sicher wies weitergeht.
Kern(f) = die Menge
[mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] in M_22(IR) mit [mm] (a+b)+(a+b)*T+(a+b+c+d)*T^{2}=0
[/mm]
wie genau gehe ich vor um auf den Kern von f zu kommen?
lg MissJule
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:00 Mi 08.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sei f: M_22(IR) -> IR [T] definiert durch
> f [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm] = [mm](a+b)+(a+b)*T+(a+b+c+d)*T^{2}[/mm]
> für alle [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm] in M_22 (IR)
> Beweisen Sie, dass f linear ist.
> Berechnen Sie eine Basis von Kern (f) und von Bild (f).
> Hallo,
>
> ich komme bei obiger Aufgabe nicht mehr weiter mit der
> Bestimmung vom Kern (f).
>
> Bisher habe ich folgendes:
>
> Der Beweis der Linearität ist kein Problem.
>
> Bestimmung von Bild(f):
>
> [mm]e_{11}[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }, e_{12}[/mm] = [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }, e_{21}[/mm]
> = [mm]\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 }, e_{22}[/mm] = [mm]\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }ist[/mm]
> die kanonische Basis von [mm]IR^{2}[/mm]
>
> Somit komme ich auf:
>
> Bild (f) = < [mm]f(e_{11}, f(e_{12}), f(e_{21}), f(e_{22})[/mm] >
> Einsetzen der kanonischen Basis ergibt:
>
> Bild (f) = < [mm]1+T+T^{2}, 1+T+T^{2}, T^{2}, T^{2}[/mm] >
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> Meine Idee: beweisen dass < [mm]1+T+T^{2}, T^{2}[/mm] > linear
> unabhängig sind (also [mm]a*(1+T+T^{2})[/mm] + [mm]b*(T^{2})=[/mm] 0, das
> wäre dann die Basis, mit Dim(Bild(f)=2.
> Hier weiß ich auch nicht so recht wie ich das LGS
> aufstellen soll, hat da jemand einen Tipp für mich?
Aus $ [mm] a\cdot{}(1+T+T^{2}) [/mm] $ + $ [mm] b\cdot{}(T^{2})= [/mm] $ 0
folgt
[mm] a+aT+(a+b)T^2=0
[/mm]
Koeffizientenvergleich liefert: a=0, a+b=0
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> Dann: Dim (Definitionsbereich) = Dim(Kern(f))+Dim(Bild(f))
> 4 = Dim (Kern(f)) + 2
> also Dim(Kern(f) = 2
>
> Und jetzt bin ich mir absolut nicht mehr sicher wies
> weitergeht.
>
> Kern(f) = die Menge
> [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm] in M_22(IR) mit
> [mm](a+b)+(a+b)*T+(a+b+c+d)*T^{2}=0[/mm]
>
> wie genau gehe ich vor um auf den Kern von f zu kommen?
Aus $ [mm] (a+b)+(a+b)\cdot{}T+(a+b+c+d)\cdot{}T^{2}=0 [/mm] $
folgt:
a+b=0 und a+b+c+d=0, also
a+b=0 und c+d=0.
Damit ist b=-a und d=-c.
Fazit: $ [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] $ gehört zum Kern [mm] \gdw [/mm] $ [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] $=$ [mm] \pmat{ a & -a \\ c & -c } [/mm] $
FRED
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> lg MissJule
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> (Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.)
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