Basis,Lineare Hülle < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:21 Di 17.05.2005 | | Autor: | mausi |
Hallo
meine Aufgabe heisst
a) bestimmen sie eine basis der linearen Hülle [mm] span(u_1,u_2,u_3)=u
[/mm]
mit [mm] u_1=(1,2,0,1,-1)
[/mm]
[mm] u_2=(0,1,2,1,2)
[/mm]
[mm] u_3=(1,4,4,3,3)
[/mm]
Basen sind ja alle nicht 0 Zeilen stimmts?also nach anwendung gauss
aber muss ich vorher noch die lineare Hülle bestimmen?? wenn ja wie geht das?
danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:27 Di 17.05.2005 | | Autor: | Hexe |
Die lineare Hülle ist einfach das Erzeugnis deiner Vektoren, wenn du also die
Matrix mit Gauss behandelst dann ist das dann schon die Basis der lin Hülle die allgemein geschreiben [mm] \{a\cdot u_1+b\cdot u_2+c\cdot u_3|a,b,c\in \IR\} [/mm] alle linearkombinationen aus den drei vektoren umfasst, beim Basis finden geht es also nur darum ob ich alle drei Vektoren brauche oder ob auch 2 reichen um die Menge darzustellen
Gruß Hexe
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:45 Di 17.05.2005 | | Autor: | mausi |
oki
also nach gauss fällt eine Zeile weg
[mm] \begin{matrix}
1 & 2 & 0 & 1 & -1 \\
0 & 1 & 2 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{matrix}
[/mm]
eine Frage noch dazu wie schreibe ich jetzt das Ergebnis ordentlich auf?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:05 Di 17.05.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo mausi
Sei bitte so lieb und hänge die Zusatzfragen an den Strang an, wo sie hingehört. Das Forum bleibt dann etwas übersichtlicher. 
> oki
> also nach gauss fällt eine Zeile weg
>
> [mm]\begin{matrix}
1 & 2 & 0 & 1 & -1 \\
0 & 1 & 2 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{matrix}[/mm]
>
> eine Frage noch dazu wie schreibe ich jetzt das Ergebnis
> ordentlich auf?
Ich denke, dass du beim Gauss-verfahren die Schritte notieren musst, um dann zu merken, dass gilt:
[mm] $\vec{u_1}+2\vec{u_2}=\vec{u_3}$
[/mm]
Ich selber bin hier so vorgegangen:
Ich habe gesetzt:
[mm] $x*\vektor{1\\2\\0\\1\\-1}+y*\vektor{0\\1\\2\\1\\2}+z*\vektor{1\\4\\4\\3\\3}=\vektor{0\\0\\0\\0\\0}$
[/mm]
Was das folgende Gleichungssystem bedeutet:
$x+z=0_$
$2x+y+4z=0_$
$2y+4z=0_$
$x+y+3z=0_$
$-x+2y+3z=0_$
Mit der Lösung:
[mm] $\vektor{x\\y\\z}=\lambda*\vektor{1\\2\\-1}$
[/mm]
Für [mm] $\lambda=1$ [/mm] erhalte ich [mm] $\vec{u_1}+2\vec{u_2}=\vec{u_3}$
[/mm]
Damit sieht man, dass der Vektor [mm] $\vec{u_3}$ [/mm] als Linearkombination von [mm] $\vec{u_1}$ [/mm] und [mm] $\vec{u_2}$ [/mm] dargestellt werden kann. Somit kann [mm] $\vec{u_3}$ [/mm] wegfallen.
Du kannst also einfach schreiben:
[mm] $\vec{u_1}$ [/mm] und [mm] $u_2$ [/mm] bilden eine Basis der Linearen Hülle.
P.S. Du kannst natürlich einfach anhand deines Vorgehens schliessen: die Lineare Hülle hat die Dimension 2. Die Vektoren [mm] $\vec{u_1}$ [/mm] und [mm] $\vec{u_2}$ [/mm] sind linear unabhängig (das musst du aber schon begründen) und bilden somit eine Basis der Linearen Hülle.
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:39 Di 17.05.2005 | | Autor: | mausi |
tschuldigung ja hatte mich irgendwie verdrückt
danke habe ich verstanden...
jetzt soll ich die Basis von U zu einer Basis von [mm] R^5 [/mm] ergänzen was mach ich denn da bitte?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:49 Di 17.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo mausi!
Hier würde ich genau umgekehrt vorgehen.
Nehme dir die Standardbasis
[mm] $\{e_1,e_2,e_3,e_4,e_5\} [/mm] = [mm] \left\{ \pmat{ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}, \pmat{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}, \pmat{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}, \pmat{ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0}, \pmat{0 \\ 0 \\ 0 \\0 \\1} \right\}$
[/mm]
des [mm] $\IR^5$. [/mm] Jetzt kannst du, da die erste Komponente von [mm] $u_1$ [/mm] ungleich $0$ ist, [mm] $e_1$ [/mm] durch [mm] $u_1$ [/mm] ersetzen und analog [mm] $e_2$ [/mm] durch [mm] $u_2$ [/mm] (weil die zweite Komponente von [mm] $u_2$ [/mm] ungleich $0$ ist).
Damit hast du [mm] $u_1$ [/mm] und [mm] $u_2$ [/mm] zu einer Basis
[mm] $\{u_1,u_2,e_3,e_4,e_5\}$
[/mm]
des [mm] $\IR^5$ [/mm] ergänzt.
Viele Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:21 Di 17.05.2005 | | Autor: | mausi |
alles klar danke
als nächstes soll ich die Dimension von [mm] U\cap [/mm] V nach dem Dimensionssatz bestimmen
da hab ich dim(U+V) = [mm] dim(U)+dim(V)-dim(U\cap [/mm] V)
also dim(U) is bei mir 2 und dim(V) auch 2 dann wäre [mm] dim(U\cap [/mm] V) = 0 nich war?
also [mm] v_1=(1,1,-2,0-3),v_2=(0,2,3,1,1),v_3=(1,3,1,1,-2)
[/mm]
Basis dazu
{(1,1,-2,0,-3),(0,2,3,1,1)}
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:54 Di 17.05.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo Mausi
mir ist nicht klar, was mit U und V genau gemeint ist.
Ich denke, dass U die Lineare Hülle der soeben gerechneten Teilaufgabe ist. Was aber ist V? Steht das nicht irgendwo in der Aufgabe?
Kannst du evtl. einmal die komplette Aufgabe posten?
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:06 Di 17.05.2005 | | Autor: | mausi |
sorry hängt hier alles bissl bei mir
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:09 Di 17.05.2005 | | Autor: | mausi |
gegeben folgende Vektoren
[mm] u_1= (1,2,0,1,-1),u_2=(0,1,2,1,2),u_3=(1,4,4,3,3)
[/mm]
[mm] v_1=(1,1,-2,0,-3),v_2=(0,2,3,1,1), v_3=(1,3,1,1,-2)
[/mm]
achso [mm] span(u_1,u_2,u_3) [/mm] = U
genauso für V
Bestimmen sie die Dimension von [mm] (U\cap [/mm] V) nach dem Dimensionssatz
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:37 Di 17.05.2005 | | Autor: | mausi |
Alles klar hab mein Fehler gefunden..
also [mm] dim(U\cap [/mm] V)= 1
so letzte Teilaufgabe
ich soll eine Basis von [mm] (U\cap [/mm] V) bestimmen
hab ma so angefangen
[mm] au_1+bu_2-cv_1-dv_2 [/mm] = 0
nu weiss ich nich mehr wie es weiter geht
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:02 Di 17.05.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo mausi
> Alles klar hab mein Fehler gefunden..
>
> also [mm]dim(U\cap[/mm] V)= 1
>
Ja, das habe ich auch erhalten! Sehr gut!
> so letzte Teilaufgabe
>
> ich soll eine Basis von [mm](U\cap[/mm] V) bestimmen
>
> hab ma so angefangen
>
> [mm]au_1+bu_2-cv_1-dv_2[/mm] = 0
>
> nu weiss ich nich mehr wie es weiter geht
Gut begonnen ist schon halb gewonnen!
Mit welcher Überlegung hast du denn diese Gleichung hingeschrieben?
Meine Überlegungen speilen sich etwa so ab:
Gesucht ist ein Vektor [mm] $\vec{x}$, [/mm] der sowohl in U als auch in V liegt.
Weil er in U liegt, muss gelten:
[mm] $\vec{x}=a\vec{u_1}+b\vec{u_2}$
[/mm]
[mm] $u_1$ [/mm] und [mm] $u_2$ [/mm] bilden ja eine Basis von U.
Weil er auch in V liegt, muss gelten:
[mm] $\vec{x}=c\vec{v_1}+d\vec{v_2}$
[/mm]
Zusammen ergeben diese beiden Gleichungen genau deine Gleichung.
Jetzt musst du nur nach a und b, oder aber auch nach c und d auflösen. Dann kannst du den Vektor [mm] $\vec{x}$ [/mm] berechnen. Dieser sollte aber nur bis auf einen Faktor eindeutig sein. Er ist dann genau der Basisvektor von $U [mm] \cup [/mm] V$, welches ja ein 1-dimensionaler Unterraum ist.
Kannst du das so einmal versuchen?
Ich werde es parallel auch tun. Nachher können wir unser Ergebnis vergleichen.
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:54 Di 17.05.2005 | | Autor: | mausi |
da hängts dann jetzt bei mir weil ich nich weiss wie ich das auflöse
kannst du nochmal helfen? bei dem anderen Beispiel von damals hat man a,b,c,d auf t gesetzt und dann weiter gerechnet aber mir fehlt da ein Zwischenschritt und deswegen weiss ich nicht wie ich da weiterrechnen muss
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:24 Di 17.05.2005 | | Autor: | Paulus |
Ach mausi,
wenn ich dich doch nur nicht so gerne hätte!
Ich löse das einfach Komponentenweise und erhalte ein Gleichungssystem:
$a-c=0_$ (1. Komponente)
$2a+b-c-2d=0_$ (2. Komponente)
$2b+2c-3d=0_$ (3. Komponente)
$a+b-d=0$ (4. Komponente)
$-a+2b+3c-d=0$ (5. Komponente)
In der üblichen Notation, also mit erweiterter Matrix, sieht das dann so aus:
[mm] $\pmat{1&0&-1&0&|&0\\2&1&-1&-2&|&0\\0&2&2&-3&|&0\\1&1&0&-1&|&0\\-1&2&3&-1&|&0}$
[/mm]
das Gauss-verfahren liefert:
[mm] $\pmat{1&0&-1&0&|&0\\0&1&1&-2&|&0\\0&2&2&-3&|&0\\0&1&1&-1&|&0\\0&2&2&-1&|&0}$
[/mm]
[mm] $\pmat{1&0&-1&0&|&0\\0&1&1&-2&|&0\\0&0&0&1&|&0\\0&0&0&1&|&0\\0&0&0&1&|&0}$
[/mm]
[mm] $\pmat{1&0&-1&0&|&0\\0&1&1&-2&|&0\\0&0&0&1&|&0}$
[/mm]
[mm] $\pmat{1&0&-1&0&|&0\\0&1&1&0&|&0\\0&0&0&1&|&0}$
[/mm]
Daraus ergibt sich:
[mm] $\vektor{a\\b\\c\\d}=\lambda*\vektor{1\\-1\\1\\0}$
[/mm]
Mit [mm] $\lambda=1$ [/mm] zum Beispiel:
$a=1$, $b=-1$, $c=1$ und $d=0$
das heisst also: [mm] $\vec{u_1}-\vec{u_2}=\vec{v_1}$
[/mm]
Jetzt, wo man das Resultat hat, denkt man: das hätte man auch gleich, mit einem scharfen Blick, sehen können! 
Das heisst also: unser gesuchter Vektor [mm] $\vec{x}$ [/mm] ist einfach der Vektor [mm] $\vec{v_1}$.
[/mm]
[mm] $\vec{v_1}$ [/mm] spannt also den Unterraum $U [mm] \cap [/mm] V$ auf.
Alle klar?
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:15 Di 17.05.2005 | | Autor: | mausi |
Ich hab das mal alles so nachvollzogen und habe da einen Fehler im Gaussverfahren entdeckt bei der Aufgabe jedenfalls hab ich bei mir a,b,c,d=0 raus, wie verhält es sich dann mit der Lösung der Aufgabe???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:36 Di 17.05.2005 | | Autor: | Paulus |
Liebes mausi
da müsstest du mir schon genauer sagen, wo der Fehler liegt!
Da aber offensichtlich gilt:
[mm] $\vec{u_1}-\vec{u_2}=\vec{v_1}$
[/mm]
denke ich, dass der Fehler eher bei dir liegt.
Klar ist deine Lösung eine gültige Lösung, aber nicht die Einzige.
Es gilt ja:
[mm] $a=\lambda$
[/mm]
[mm] $b=-\lambda$
[/mm]
[mm] $c=\lambda$
[/mm]
$d=0$
Wenn du setzt: [mm] $\lambda=0$, [/mm] dann hast du deine Lösung.
Aber für [mm] $\lambda$ [/mm] dürfen alle beliebigen reellen Zahlen eingesetzt werden, und es ist jedesmal eine gültige Lösung. Alle Lösungen zusammen bilden ja einen Unterraum, der in unserem Falle ist er
1-dimensional.
Mit lieben Grüssen
Paul
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