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Basis abbrechende Folgen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:08 Sa 24.04.2010
Autor: Phecda

Hi

hab einige Verständnisprobleme bei folgender Aufgabe:

Sei [mm] K^\IN [/mm] := { [mm] (a_n)_n\in\IN [/mm] | [mm] \forall n\in\IN: a_n \in [/mm] K und [mm] \exists [/mm] N [mm] \in\IN: a_n [/mm] = 0 [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N} der K-VR der abbrechenden Folgen in K.

[mm] e_1:= [/mm] (1,0,0,0,...)
[mm] e_2:= [/mm] (0,1,0,0,...)
[mm] e_3:= [/mm] (0,0,1,0,...)
...

[mm] b_1 [/mm] := [mm] e_{i+1} [/mm] - [mm] e_i \in K^\IN [/mm] für i [mm] \in \IN [/mm]

Zeigen sie

[mm] (b_1,b_2,b_3,...) [/mm] ist eine Basis von [mm] K^\IN. [/mm]
Sei [mm] b_i\* [/mm] : [mm] K^\IN [/mm] -> K, [mm] b_j [/mm] -> [mm] d_{ij} [/mm] für i,j [mm] \in\IN. [/mm]
Bestimme [mm] b_i\*(e_j) [/mm] für i,j [mm] \in\IN. [/mm]


Okay zuerst. Ich versteh schon gar nicht warum b eine basis sein soll bzw. wie ich das zeigen soll.
ich hab hier die ersten paar elemente:

(1,0,0,0,0,...)
(-1,1,0,0,0,...)
(0,-1,1,0,0,0...)
(0,0,-1,1,0,0,...)
Oder ist das falsch?


        
Bezug
Basis abbrechende Folgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:50 Sa 24.04.2010
Autor: steppenhahn

Hallo,


> hab einige Verständnisprobleme bei folgender Aufgabe:
>  
> Sei [mm]K^\IN[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

:= { [mm](a_n)_n\in\IN[/mm] | [mm]\forall n\in\IN: a_n \in[/mm] K

> und [mm]\exists[/mm] N [mm]\in\IN: a_n[/mm] = 0 [mm]\forall[/mm] n [mm]\ge[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

N} der K-VR der

> abbrechenden Folgen in K.
>  
> [mm]e_1:=[/mm] (1,0,0,0,...)
>  [mm]e_2:=[/mm] (0,1,0,0,...)
>  [mm]e_3:=[/mm] (0,0,1,0,...)
>  ...
>  
> [mm]b_1[/mm] := [mm]e_{i+1}[/mm] - [mm]e_i \in K^\IN[/mm] für i [mm]\in \IN[/mm]

Du meinst wohl:

[mm] $b_{1}:= e_{1}$, [/mm]
[mm] $b_{i+1}:=e_{i+1} [/mm] - [mm] e_{i}$ [/mm]

für [mm] $i\in\IN$. [/mm]

> Zeigen sie
>  
> [mm](b_1,b_2,b_3,...)[/mm] ist eine Basis von [mm]K^\IN.[/mm]
>  Sei [mm]b_i\*[/mm] : [mm]K^\IN[/mm] -> K, [mm]b_j[/mm] -> [mm]d_{ij}[/mm] für i,j [mm]\in\IN.[/mm]

>  Bestimme [mm]b_i\*(e_j)[/mm] für i,j [mm]\in\IN.[/mm]


> Okay zuerst. Ich versteh schon gar nicht warum b eine basis
> sein soll bzw. wie ich das zeigen soll.
>  ich hab hier die ersten paar elemente:
>  
> (1,0,0,0,0,...)
>  (-1,1,0,0,0,...)
>  (0,-1,1,0,0,0...)
>  (0,0,-1,1,0,0,...)
>  Oder ist das falsch?

Das ist richtig.
Eine Basis ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem.

-Leuchtet es dir ein, warum die Basis ein Erzeugendensystem ist? Wenn nein, warum nicht?

Stelle zum Beispiel die Folge
(1,2,3,0,0,0,0,...)
mit Hilfe der Basis dar.

Beachte: Eine Linearkombination aus einer Familie von Vektoren besteht bei uns aus endlich vielen Summanden!
Genau deswegen wurde in der Aufgabenstellung auch benötigt, dass es "abbrechende Folgen" sind.

-Warum ist diese Basis linear unabhängig? Ich zitiere dazu: "Eine Basis ist linear unabhängig, wenn jede endliche Teilfamilie der Basis linear unabhängig ist". Nimm also endlich viele [mm] b_{i_{1}},...,b_{i_{r}} [/mm] aus der Basis heraus und zeige, dass diese linear unabhängig sind.

Grüße,
Stefan

Bezug
                
Bezug
Basis abbrechende Folgen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:57 Sa 24.04.2010
Autor: Phecda

okay das mit der basis habe ich verstanden ....
soll ich die argumentation aufschreiben?

mit der dualen abbildung verstehe ich gar nciht... kann ich nicht einfach [mm] e_j(ei) [/mm] nehmen?
dann hätte ich ja sozusagen das triviale skalarprodukt von den e vektoren ....
was hat das mit b zu tun?

wäre schön wenn du mir da noch etwas weiterhelfen könntest

Bezug
                        
Bezug
Basis abbrechende Folgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:30 Sa 24.04.2010
Autor: steppenhahn

Hallo,

> okay das mit der basis habe ich verstanden ....
>  soll ich die argumentation aufschreiben?

Ja, auf deinen Zettel! :-)

> mit der dualen abbildung verstehe ich gar nciht... kann ich
> nicht einfach [mm]e_j(ei)[/mm] nehmen?
>  dann hätte ich ja sozusagen das triviale skalarprodukt
> von den e vektoren ....
>  was hat das mit b zu tun?

Du willst nun [mm] $b_{i}^{\*}(e_{j})$ [/mm] bestimmen.
Mache dir dazu klar, dass

[mm] $e_{j} [/mm] = [mm] b_{1} [/mm] + ... + [mm] b_{j}$, [/mm]

d.h.

[mm] $b_{i}^{\*}(e_{j}) [/mm] = [mm] b_{i}^{\*}( b_{1} [/mm] + ... + [mm] b_{j}) [/mm] = ...$

und die Definition der Bilder von den [mm] b_{k} [/mm] kennst du per Definition!

Grüße,
Stefan

Bezug
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