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| Aufgabe | Wir betrachten im Vektorraum [mm] \IR^2 [/mm] den Unterraum G = [mm] \{(x_{1},x_{2} \in \IR^2 | x_{1}+x_{2} = 0 \}
[/mm]
a) Geben Sie eine Basis von G an. |
Hallo,
irgendwie war wohl Weihnachten und Silvester etwas zu viel für mich.
Eine Basis in o.g. Aufgabe müsste (1,-1) sein. Aber wie kommt man den da drauf. Ich kann das ja nicht einfach hinschreiben oder?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Die Menge verdeutlicht ja nichts anderes als ein x aus R und dazu sein additiv inverses.
Man kann ja x1 + x2 = 0 umformen in
x1 = -x2 und erhält somit eine lineare Funktion.
Im Graphen sieht das so aus:
o |
o |
o |
o |
-----------------
| o
| o
| o
| o
Eine Basis ist ein Erzeugendensystem (und linear unahängig). Was ist das Erzeugendensystem einer Gerade? Natürlich ein Vektor, der genau ihre Richtung "anzeigt". Das kann zum Beispiel der Vektor (1,-1), aber auch (2,-2), ... sein.
Du musst dann aber noch zeigen, dass die gefundene Basis linear unabhängig ist, also dass für
0 = [mm] \lambda_{1}*v_{1} [/mm] + [mm] \lambda_{2}*v_{2}
[/mm]
mit v = [mm] \vektor{v_{1} \\ v_{2}} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ -1} [/mm] folgt, dass [mm] \lambda_{1} [/mm] = [mm] \lambda_{2} [/mm] = 0 ist.
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| Aufgabe | | Es sei f: [mm] \IR^2 \to \IR^2 [/mm] die lienare Abbildung, die einen Punkt zuerst an G und dann an der [mm] x_{1}-Achse [/mm] spiegelt. Bestimmen Sie bezüglich der kanonischen Basis des [mm] \IR^2 [/mm] die Matrix S, die f beschreibt. |
Hallo,
danke für die schnelle Antwort. Deine Erklärung hat mir meinen Verdacht anschaulich bestätigt.
Zu der Aufgabe gibt es aber noch eine zweite Teilaufgabe. Hierbei muss ich ja wohl den Einheitsvektor (1,0) verwenden, der ja die [mm] x_{1}-Achse [/mm] beschreibt. Aber wie soll ich daraus eine Matrix bilden. Oder genügt es, das einfach nur untereinander zu schreiben?
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Zunächst bestimmt man die beiden Abbildungen, die eigentlich gefordert sind.
Die erste Abbildung (wir nennen sie g(x)) spiegelt einen Punkt P(x,y) an der Geraden -x, die wir oben bestimmt haben. Sieht man sich das im Graphen an, kann man schnell herausfinden, was dann mit den Koordinaten des Punkts P passiert:
-die beiden Koordinaten x und y werden vertauscht und "negativiert", also:
[mm] \vektor{x \\ y} \overbrace{\mapsto}^{g} \vektor{-y \\ -x}.
[/mm]
Nun müssen wir diese Abbildung in eine Matrix A überführen, die bei Multiplikation mit P genau dasselbe erledigt, d.h. sie muss folgendes erledigen:
AP = [mm] A\vektor{x \\ y} [/mm] = [mm] \vektor{-y \\ -x}
[/mm]
Dazu führt man die lineare Abbildung mit den Koordinaten-Einheitsvektoren von [mm] R^{2} [/mm] aus [mm] (\vektor{1 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 1}):
[/mm]
[mm] \vektor{1 \\ 0} \overbrace{\mapsto}^{g} \vektor{0 \\ -1}.
[/mm]
[mm] \vektor{0 \\ 1} \overbrace{\mapsto}^{g} \vektor{-1 \\ 0}.
[/mm]
Nun kann man A einfach durch zusammenfassen der erhaltenen Vektoren bilden:
A = [mm] \pmat{g(\vektor{1 \\ 0}) & g(\vektor{0 \\ 1})}
[/mm]
= [mm] \pmat{0 & -1 \\ -1 & 0}
[/mm]
Die gefundene Matrix A erledigt nun bei Multiplikation mit einem beliebigem Punkt P dasselbe wie wenn man P in die lineare Abbildung g einsetzen würde.
Nun müssen wir die zweite Matrix B bestimmen. Zuvor jedoch die dazugehörige lineare Abbildung h(x).
Was passiert, wenn man einen Punkt P an der x-Achse spiegelt? Das Vorzeichen der y-Koordinate wird umgedreht, also "negativiert", d.h.
[mm] \vektor{x \\ y} \overbrace{\mapsto}^{h} \vektor{x \\ -y}.
[/mm]
Die dazugehörige Matrix B bestimmen wir mit einsetzen der Einheitsvektoren:
[mm] \vektor{1 \\ 0} \overbrace{\mapsto}^{h} \vektor{1 \\ 0}.
[/mm]
[mm] \vektor{0 \\ 1} \overbrace{\mapsto}^{h} \vektor{0 \\ -1}.
[/mm]
--> B = [mm] \pmat{1 & 0 \\ 0 & -1}
[/mm]
Auch B erfüllt nun dieselbe Funktion wie die lineare Abbildung h.
Im grunde wird f in der Aufgabenstellung ja als Hintereinanderausführung von g und h beschrieben. Der Punkt wird erst gespiegelt an der Geraden (also g(P)) und dann gespiegelt an der x-Achse (also h(g(P))).
Bei Matrizen ist diese Hintereinanderausführung die Multiplikation, unsere gesuchte Matrix ist also BA, also
BA = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 }\pmat{ 0 & -1 \\ -1 & 0 }
[/mm]
= [mm] \pmat{ 0 & -1 \\ 1 & 0 } [/mm] = C.
Diese Matrix C ist bei der Aufgabenstellung gesucht.
(Man hätte übrigens gleich die lineare Abbildung für beide Operation g und h bestimmen können und erst dann die Matrix bilden, dann wäre es schneller gegangen)
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