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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:15 Mi 13.08.2008 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | | Sei [mm] E=\pmat{0&1&0\\i&0&0\\0&0&-1} \in M_{22}(\IC) [/mm]. Gibt es eine Basis von [mm] \IC^3 [/mm], die aus Eigenvektoren besteht ? |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo,
ich habe hier als Lösungsantwort "JA", aber ohne Erklärung, und ich verstehe nicht, warum es eine Basis aus EW gibt.
Die Matrix ist nicht symmetrisch. Ich bekomme auch nicht die Eigenwerte heraus - stehe irgendwie auf dem Schlauch ..
Danke, Susanne.
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Also die Eigenwerte kann ich dir geben:
[mm]\wurzel{\bruch{1}{2}} + \wurzel{\bruch{1}{2}} i[/mm]
[mm]-\wurzel{\bruch{1}{2}} - \wurzel{\bruch{1}{2}} i[/mm]
[mm]-1[/mm]
Wenn du (wie ich) zu faul zum Rechnen bist, dann lad dir bei ![[]](/images/popup.gif) Scilab deren Programm 'runter und geb folgendes ein:
A=[0 1 0; %i 0 0 ; 0 0 -1]
spec(A)
Die erste Anweisung definiert die Matrix (%i ist die imaginäre Einheit), während mit der zweiten Anweisung die Eigenwerte ausgerechnet werden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:26 Mi 13.08.2008 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Generation..x,
VIELEN DANK für deine Hilfe und Link !
LG, Susanne.
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Hallo Susanne,
die Eigenwerte lassen sich doch relativ bequem berechnen.
Es ist [mm] $E-\lambda\cdot{}\mathbb{I}_3=\pmat{-\lambda&1&0\\i&-\lambda&0\\0&0&-1-\lambda}$
[/mm]
Die Determinante davon kannst du doch nett zB. nach der 3.Spalte berechnen:
[mm] $det(...)=(-1-\lambda)\cdot{}det\pmat{-\lambda&1\\i&-\lambda}=(-1-\lambda)\cdot{}(\lambda^2-i)\overset{!}{=}0$
[/mm]
Ein Produkt ist =0, wenn (mind.) einer der Faktoren 0 ist
Der erste gibt dir [mm] $\lambda=-1$, [/mm] der andere [mm] $\lambda^2=i$ [/mm] liefert die beiden andern Nullstellen (s. post von generation...x)
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:30 Mi 13.08.2008 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Schachuzipus,
VIELEN DANK für deine Hilfe !
Auweia, da sah ich wohl den Wald vor Bäumen nicht mehr...die 3. Spalte wäre es gewesen...DANKE !
LG, Susanne.
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