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| Aufgabe | Gegeben seien die Vektoren u=(1,3,1,2); v=(2,5,0,2); w=(1,4,3,0); x=(-1,1,7,2) im [mm] \IR^{4}. [/mm] Ferner sei U der durch die Vektoren u,v,w erzeugte Unterraum, U=L(u,v,w).
(a) Zeigen Sie, dass x [mm] \in [/mm] U.
(b) Bestimmen Sie eine Basis in U, die x enthält.
(c) Ergänzen Sie die Basis aus (b) zu einer Basis des [mm] \IR^{4}. [/mm] |
Hallo!
Ich rechne gerade einige Aufgaben zur Klausurvorbereitung durch und komme bei dieser Aufgabe nicht weiter.
Teilaufgabe (a) habe ich aber leider weiß ich bei (b) und (c) nicht so echt, wie ich das machen soll.
Muss ich bei (b) vielleicht einfach u, v oder w durch x ersetzen und prüfen, ob die Vektoren dann noch linear unabhängig sind?
Kann mir da vielleicht jemand helfen?
Wäre echt super!!!
DANKE!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:19 Di 21.03.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
du könntest dir mal DIESEN THREAD ganz genau durchlesen, da werden deine Fragen auch behandelt.
du solltest deine Vektoren als ZEILEN in eine Matrix schreiben (wobei x ganz oben stehen sollte) und dann den normalen Gauß mit seinen Zeilenoperationen durchführen.
Wenn du dann bei Zeilenstufenform angelangt bist, hast du eine Basis des Unterraums gefunden (und den Vektor x hast ud ja nicht verändert)
wie du dann noch zu einer gesamt-basis ergänzt steht auch in dem anderem Thread (siehe link oben)
wenn du wissen willst, warum das auch theoretisch klappt, schau mal HIER
viele Grüße
DaMenge
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Ich bin jetzt durch Anwendung von Gauß von [mm] \pmat{ -1 & 1 & 7 & 2 \\ 1 & 3 & 1 & 2 \\ 2 & 5 & 0 & 2 \\ 1 & 4 & 3 & 0 } [/mm] zu [mm] \pmat{ -1 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 4 & 8 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 } [/mm] gekommen. Aber wie würde denn die Basis in U, die x enthält jetzt genau aussehen?
Evtl. so: B = ((-1,1,7,2),(0,4,8,4),(0,0,0,-4))?
Wie ich (c) löse verstehe ich aus den anderen Beiträgen allerdings leider trotzdem nicht.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:41 Di 21.03.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
(wir freuen uns auch über ein nette Begrüßung und evtl eine Mitteilung, falls alles klarer ist..)
das schaut doch alles schon recht gut aus !
> Evtl. so: B = ((-1,1,7,2),(0,4,8,4),(0,0,0,-4))?
Ja, ganz genau - ich habe allerdings dein Ergebnis nicht kontrolliert - ich gehe mal davon aus, dass du Gauß kannst.
(Vektoren eben nur als Spalten wieder geschrieben)
> Wie ich (c) löse verstehe ich aus den anderen Beiträgen
> allerdings leider trotzdem nicht.
Nun ja, in der dritten Zeile fehlt doch das erste (und einzige) mal ein Eintrag auf der Diagonalen, also fügen wir noch den dritten Einheitsvektor als Zeile hinzu : (0,0,1,0)
In Zeilenstufenform gebracht erhält man : [mm] $\pmat{ -1 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 4 & 8 & 4 \\ 0&0&1&0 \\0 & 0 & 0 & -4 }$
[/mm]
also vollen Rang und wir sind fertig, d.h. der dritte Einheitsvektor ergänzt die Basis zu einer Basis des [mm] $\IR^4$
[/mm]
(dieser Vektor ist keinesfalls eindeutig, aber sicher ein gute Wahl, weil man die lineare Unabhängigkeit zu den anderen Vektoren sieht)
viele Grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:10 Di 21.03.2006 | | Autor: | Raingirl87 |
Vielen, vielen Dank für die super Hilfe! :)
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