Basis beweisen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:28 Di 03.06.2008 | | Autor: | grashalm |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass im Vektorraum G der ganzrationalen Funktionen folgende Menge B eine Basis ist:
[mm] B=\{f_{i}:x \to x^{i-1} : i \in \IN\} [/mm] |
Hallo,
So also Basis lineare Unabhängigkeit und Erzeugendensystem beweisen schon klar. ABER bislang hab ich das immer mit konkreten Vektoren und so gemacht wie mach ich das denn hier?! Kann jemand ein wenig Licht ins Dunkel bringen.
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> Zeigen Sie, dass im Vektorraum G der ganzrationalen
> Funktionen folgende Menge B eine Basis ist:
> [mm]B=\{f_{i}:x \to x^{i-1} : i \in \IN\}[/mm]
> Hallo,
>
> So also Basis lineare Unabhängigkeit und Erzeugendensystem
> beweisen schon klar. ABER bislang hab ich das immer mit
> konkreten Vektoren und so gemacht wie mach ich das denn
> hier?! Kann jemand ein wenig Licht ins Dunkel bringen.
Hallo,
ist Dir denn klar, daß dort steht, daß [mm] (x^0, x^1, x^2, x^3, x^4,...) [/mm] eine Basis der ganzrationalen Funktionen ist?
Nimm nun zunächst eine beliebige ganzrationale Funktion her und zeige, daß Du sie als Linearkombination der [mm] (x^0, x^1, x^2, x^3, x^4,...) [/mm] darstellen kannst:
Sei f eine ganzrationale Funktion.
dann gibt es ein [mm] n\in [/mm] N und [mm] a_i\in \IR [/mm] so, daß f(x)=... .
Nun schreibst Du das Dings als Linearkombination von [mm] f_i(x) [/mm] und schließt daraus, daß f eine Linearkombination der [mm] f_i [/mm] ist.
Bevor Du mit dem Beweis der Linearen Unabhängigkeit beginnst, solltest Du erstmal die Definition nachschlagen und nachlesen. Beachte, daß Du es hier mit einer unendlichen Familie v. Vektoren zu tun hast.
Gruß v. Angela
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