Basis d. Kerns < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:53 Di 29.07.2014 | | Autor: | D-C |
| Aufgabe | | zz: v1=(1,-1,0,0), v2=(0,2,0-2), v3=(0,0,1,-1) bilden eine Basis des Kerns der linearen Abbildung f: [mm] \IR^4 \to \IR, [/mm] (x1,x2,x3,x4) [mm] \mapsto [/mm] x1+x2+x3+x4 |
Hallo,
wenn ich normalerweise eine Basis des Kerns bestimmen will, würde ich zuerst den Kern bestimmen, indem ich ggf. die Vektoren in eine Matrix schreibe und auf eine normierte Zeilenstufenform bringe und von dort aus die Lösungen ablese. Dies dann ein wenig umschreiben, um die lineare Hülle zu erhalten und daraus ablesen, welche Komponenten linear unabh. sind => Basis des Kerns.
Wie gehe ich aber jetzt hier vor und was mache ich genau mit der Abbildung ?
Gruß
D-C
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Hallo,
> zz: v1=(1,-1,0,0), v2=(0,2,0-2), v3=(0,0,1,-1) bilden eine
> Basis des Kerns der linearen Abbildung f: [mm]\IR^4 \to \IR,[/mm]
> (x1,x2,x3,x4) [mm]\mapsto[/mm] x1+x2+x3+x4
> Hallo,
>
> wenn ich normalerweise eine Basis des Kerns bestimmen will,
> würde ich zuerst den Kern bestimmen, indem ich ggf. die
> Vektoren in eine Matrix schreibe und auf eine normierte
> Zeilenstufenform bringe und von dort aus die Lösungen
> ablese. Dies dann ein wenig umschreiben, um die lineare
> Hülle zu erhalten und daraus ablesen, welche Komponenten
> linear unabh. sind => Basis des Kerns.
>
> Wie gehe ich aber jetzt hier vor und was mache ich genau
> mit der Abbildung ?
Nun, wie du es beschrieben hast.
Stelle die Darstellungsmatrix dieser linearen Abbildung auf - der einfachheit halber bzg. der Standardbasen von Urbild- und Bildraum, dann bestimme mit Gauß deren Kern.
Also 1. Schritt: wie sieht die Matrix konkret aus?
Die hat doch hier eine sehr sehr einfache Gestalt ...
>
> Gruß
> D-C
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:56 Di 29.07.2014 | | Autor: | D-C |
Sehe ich das richtig, dass ich für die Darstellende Matrix brauche :
2 Basen, um mit Hilfe der einzelnen Basisvektoren der 1.Basis und der Abbildungsvorschrift neue Vektoren zu bekommen, die ich als Linearkombinationen der Vektoren der 2.Basis darstellen muss?
Also, z.B. die Standardbasis des [mm] \IR^4 [/mm] als 1.Basis:
[mm] f(\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}) [/mm] = 1+0+0+0 = 1
[mm] f(\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}) [/mm] = 0+1+0+0 = 1
[mm] f(\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0}) [/mm] = 0+0+1+0 = 1
[mm] f(\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}) [/mm] = 0+0+0+1 = 1
Dann bliebe ja nur als neuer Vektor [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1} [/mm] übrig ?
Was wären dann meine 2. Basisvektoren? v1,v2,v3? Wie soll ich denn damit den neuen Vektor linear kombinieren?
Gruß
D-C
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> Sehe ich das richtig, dass ich für die Darstellende Matrix
> brauche :
> 2 Basen, um mit Hilfe der einzelnen Basisvektoren der
> 1.Basis und der Abbildungsvorschrift neue Vektoren zu
> bekommen, die ich als Linearkombinationen der Vektoren der
> 2.Basis darstellen muss?
>
> Also, z.B. die Standardbasis des [mm]\IR^4[/mm] als 1.Basis:
>
> [mm]f(\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0})[/mm] = 1+0+0+0 = 1
> [mm]f(\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0})[/mm] = 0+1+0+0 = 1
> [mm]f(\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0})[/mm] = 0+0+1+0 = 1
> [mm]f(\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1})[/mm] = 0+0+0+1 = 1
>
> Dann bliebe ja nur als neuer Vektor [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1}[/mm]
> übrig ?
Hallo,
was meinst Du damit?
Du suchst doch die Darstellungsmatrix bzgl. der Standardbasen des [mm] \IR^4 [/mm] und des [mm] \IR.
[/mm]
Wie bekommt man die? Indem man in die Spalten der Dartellungsmatrix die Bilder der Basisvektoren schreibt.
Also hast Du die Darstellungsmatrix
[mm] M=\pmat{1&1&1&1}.
[/mm]
Von dieser Matrix ist bei der von Dir geplanten Vorgehensweise der Kern zu bestimmen.
Dann mußt Du noch überlegen, ob die Dir vorgegebenen Vektoren eine Basis des von Dir bestimmten Raumes sind.
Etwas andere Vorgehensweise:
die Darstellungsmatrix hat offenbar den Rang 1, also hat der Kern die Dimension 3.
Dir waren als Basis des Kerns bereits 3 Vektoren angeboten worden.
Wenn Du Dich vergewisserst, daß es wirklich Vektoren des Kerns sind, und daß sie linear unabhängig sind, kannst Du ebenfalls sicher sein, daß sie eine Basis des Kerns sind.
LG Angela
>
> Was wären dann meine 2. Basisvektoren? v1,v2,v3? Wie soll
> ich denn damit den neuen Vektor linear kombinieren?
>
> Gruß
> D-C
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:43 Di 29.07.2014 | | Autor: | D-C |
Also mit M = ( 1 1 1 1 )
wäre der Kern(M) = [mm] \{ \vektor{-x2-x3-x4 \\ x2 \\ x3 \\ x4} | x2,x3,x4 \in \IR \}
[/mm]
und die Basis des Kerns(M)
= [mm] \{ \vektor{-x2 \\ x2 \\ 0\\ 0} + \vektor{-x3 \\ 0 \\ x3\\ 0} + \vektor{-x4 \\ 0 \\ 0\\ x4} | x2,x3,x4 \in \IR \} [/mm] = [mm] \{ x2*\vektor{-1 \\ 1 \\ 0\\ 0} + x3*\vektor{-1 \\ 0 \\ 1\\ 0} + x4*\vektor{-1 \\ 0 \\ 0\\ 1} | x2,x3,x4 \in \IR \}
[/mm]
Und somit die Lineare Hülle:
L = [mm] \{ \vektor{-1 \\ 1 \\ 0\\ 0} + \vektor{-1 \\ 0 \\ 1\\ 0} + \vektor{-1 \\ 0 \\ 0\\ 1} | x2,x3,x4 \in \IR \}
[/mm]
Die 3 Vektoren sind linear unabhängig und bilden damit eine Basis des Kerns.
Kann man das so machen?
Gruß
D-C
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Hallo nochmal,
> Also mit M = ( 1 1 1 1 )
>
> wäre der Kern(M) = [mm]\{ \vektor{-x2-x3-x4 \\ x2 \\ x3 \\ x4} | x2,x3,x4 \in \IR \}[/mm]
>
> und die Basis des Kerns(M)
>
> = [mm]\{ \vektor{-x2 \\ x2 \\ 0\\ 0} + \vektor{-x3 \\ 0 \\ x3\\ 0} + \vektor{-x4 \\ 0 \\ 0\\ x4} | x2,x3,x4 \in \IR \}[/mm]
> = [mm]\{ x2*\vektor{-1 \\ 1 \\ 0\\ 0} + x3*\vektor{-1 \\ 0 \\ 1\\ 0} + x4*\vektor{-1 \\ 0 \\ 0\\ 1} | x2,x3,x4 \in \IR \}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Und somit die Lineare Hülle:
>
> L = [mm]\{ \vektor{-1 \\ 1 \\ 0\\ 0} + \vektor{-1 \\ 0 \\ 1\\ 0} + \vektor{-1 \\ 0 \\ 0\\ 1} | x2,x3,x4 \in \IR \}[/mm]
Da ist doch was an der Schreibweise faul, oder?
>
> Die 3 Vektoren sind linear unabhängig und bilden damit
> eine Basis des Kerns.
>
> Kann man das so machen?
Jo, gut!
>
> Gruß
> D-C
>
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:50 Di 29.07.2014 | | Autor: | D-C |
Ja stimmt , das x2,x3,x4 [mm] \in \IR [/mm] gehört da wohl nicht mehr in die Lineare Hülle...
Gruß
D-C
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:24 Di 29.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> zz: v1=(1,-1,0,0), v2=(0,2,0-2), v3=(0,0,1,-1) bilden eine
> Basis des Kerns der linearen Abbildung f: [mm]\IR^4 \to \IR,[/mm]
> (x1,x2,x3,x4) [mm]\mapsto[/mm] x1+x2+x3+x4
> Hallo,
>
> wenn ich normalerweise eine Basis des Kerns bestimmen will,
> würde ich zuerst den Kern bestimmen, indem ich ggf. die
> Vektoren in eine Matrix schreibe und auf eine normierte
> Zeilenstufenform bringe und von dort aus die Lösungen
> ablese. Dies dann ein wenig umschreiben, um die lineare
> Hülle zu erhalten und daraus ablesen, welche Komponenten
> linear unabh. sind => Basis des Kerns.
>
> Wie gehe ich aber jetzt hier vor und was mache ich genau
> mit der Abbildung ?
wozu wurde hier eigentlich solch' ein großer Aufwand betrieben? Wenn
man viele Infos/Behauptungen hat, sollte man die verarbeiten (nicht, dass
der andere Lösungsweg falsch wäre):
Die Dimension des Bildes von [mm] $f\,$ [/mm] ist offenbar [mm] $1\,.$ [/mm] Die Dimension von [mm] $\IR^4$ [/mm] ist
offenbar 4, also muss
[mm] $\dim(\text{ker}(f))+1=4\,$
[/mm]
folgen. Dass [mm] $\{v_1,v_2,v_3\}$ [/mm] linear unabhängig ist, ist ersichtlich, Du
kannst es aber auch gerne nachrechnen. Also muss nur noch, durch Einsetzen,
nachgerechnet werden, dass
[mm] $v_1,v_2,v_3 \in \text{ker}(f)$
[/mm]
gilt - also
[mm] $f(v_1)=f(v_2)=f(v_3)=0\,.$
[/mm]
Wenn man Dir doch so viele Infos gibt: Warum alles nochmal von vorne
aufziehen? Anstatt das zu benutzen, was einem gegeben wird?
Edit: Habe gerade gesehen, dass Angela Dich
hier
auch auf diesen Weg bringen wollte.
Wie gesagt: Das Schöne an dieser Vorgehensweise ist, dass man
eigentlich "gar nichts konstruieren", sondern vielmehr "die Gegebenheiten
kontrollieren" muss.
Vergleichbar: Zeigen Sie, dass alle Nullstellen von $x [mm] \mapsto x^2-7x+12$ [/mm] durch
[mm] $\{3;\;4\}$
[/mm]
gegeben sind. Du kannst jetzt faktorisieren (bzw. pq-Formel anwenden),
und dann zum Ziel kommen. Oder Du sagst:
Eine Polynomfunktion vom Grad [mm] $\le [/mm] 2$ kann höchstens 2 Nullstellen haben.
Wegen
[mm] $3^2-7*3+12=...=0\,$
[/mm]
und
[mm] $4^2-7*4+12=...=0\,$
[/mm]
folgt dann die Behauptung.
Gruß,
Marcel
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Hallo,
ist der Weg hier wirklich so viel einfacher und schneller?
Die Darstellungsmatrix ist doch direkt hingeschrieben, den Kern kann man direkt aufschreiben.
Ich jedenfalls brauche länger dafür, die drei Vektoren auf lineare Unabh. zu prüfen. Die Matrix ist viel "größer" 
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:19 Mi 30.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> ist der Weg hier wirklich so viel einfacher und schneller?
>
> Die Darstellungsmatrix ist doch direkt hingeschrieben, den
> Kern kann man direkt aufschreiben.
>
> Ich jedenfalls brauche länger dafür, die drei Vektoren
> auf lineare Unabh. zu prüfen. Die Matrix ist viel
> "größer"
doch nicht ernsthaft bei
$ [mm] v_1=(1,-1,0,0), v_2=(0,2,0-2), v_3=(0,0,1,-1)$
[/mm]
Da braucht man keine Matrix hinschreiben, bei
[mm] $rv_1+sv_2+tv_3=(0,0,0,0)$
[/mm]
zeigt
[mm] $\bullet$ [/mm] ein Blick auf die erste Komponente, dass [mm] $r=0\,$
[/mm]
sein muss. Da [mm] $v_2,v_3$ [/mm] offensichtlich linear unabhängig sind, folgt dann
[mm] $r=s=t=0\,.$
[/mm]
Einfacher bedeutet für mich übrigens nicht unbedingt *kürzer*, sondern
eher: Mit wenig Wissen schnell ans Ziel.
Ob das nun wirklich *einfacher* ist, ist vielleicht auch subjektiv. Z.B. finde ich
den Dimensionssatz nun einfach anzuwenden, aber ob jeder Student das
so empfindet? Vielleicht auch erst dann, wenn sie den Beweis dazu verstanden
haben...
Gruß,
Marcel
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