Basis des Lösungsraumes < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:30 Sa 09.12.2006 | | Autor: | Creep |
| Aufgabe | | Geben sie eine Basis des Lösungsraumes des LGS Ax=0 in [mm] \IR^{5} [/mm] an |
Hallo zusammen!
Ich habe mir mal die Arbeit gespart und die konkrete Matrix nicht abgetippt. Also ich habe natürlich erstmal das Gleichungssystem gelöst und habe auch eine Lösungsmenge.
[mm] L=s*\vektor{1 \\ 0 \\ -\bruch{4}{5} \\ -1 \bruch{1}{15} \\ \bruch{1}{5}} [/mm] + [mm] t*\vektor{0 \\ 1 \\ \bruch{3}{5} \\ -2 \bruch{13}{15} \\ -\bruch{2}{5}}
[/mm]
Meinen konkrete Frage ist nun, wie kann ich eine Basis des Lösungsraumes aufstellen. Vielleicht liegt es daran, dass ich keine genaue Vorstellung von diesem Raum habe.
Wenn ich das richtig verstehe suche ich jetzt 5 Vektoren, die den Lösungsraum aufspannen? Aber ist dann die Matrix nicht schon die Basis des Lösungsraumes?
Vielleicht hilft mir jemand aus der Dunkelheit.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> Geben sie eine Basis des Lösungsraumes des LGS Ax=0 in
> [mm]\IR^{5}[/mm] an
> Hallo zusammen!
>
> Ich habe mir mal die Arbeit gespart und die konkrete Matrix
> nicht abgetippt. Also ich habe natürlich erstmal das
> Gleichungssystem gelöst und habe auch eine Lösungsmenge.
>
>
> [mm]L=s*\vektor{1 \\ 0 \\ -\bruch{4}{5} \\ -1 \bruch{1}{15} \\ \bruch{1}{5}}[/mm]
> + [mm]t*\vektor{0 \\ 1 \\ \bruch{3}{5} \\ -2 \bruch{13}{15} \\ -\bruch{2}{5}}[/mm]
>
> Meinen konkrete Frage ist nun, wie kann ich eine Basis des
> Lösungsraumes aufstellen.
Hallo,
Dein oben angegebener Lösungsraum wird aufgespannt von den Vektoren
[mm] \vektor{1 \\ 0 \\ -\bruch{4}{5} \\ -1 \bruch{1}{15} \\ \bruch{1}{5}} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ \bruch{3}{5} \\ -2 \bruch{13}{15} \\ -\bruch{2}{5}}.
[/mm]
Also ist
[mm] L=<\vektor{1 \\ 0 \\ -\bruch{4}{5} \\ -1 \bruch{1}{15} \\ \bruch{1}{5}},\vektor{0 \\ 1 \\ \bruch{3}{5} \\ -2 \bruch{13}{15} \\ -\bruch{2}{5}}>, [/mm] die Menge der Linearkombinationen beider Vektoren.
Wenn Du Dich davon überzeugt hast, daß sie linear unabhängig sind, sind diese beiden Vektoren die Basis Deines Lösungsraumes.
>Vielleicht liegt es daran, dass
> ich keine genaue Vorstellung von diesem Raum habe.
Der Lösungsraum ist die Menge aller Punkte/Vektoren, welche das vorgegebene Gleichungssystem lösen.
> Wenn ich das richtig verstehe suche ich jetzt 5 Vektoren,
> die den Lösungsraum aufspannen?
Wenn Dein Lösungsraum eine Basis aus 5 Vektoren hätte, wäre er ja gleich dem kompletten [mm] \IR^5, [/mm] d.h. jeder Punkt des [mm] \IR^5 [/mm] würde Dein GS lösen.
Aber solch ein Gleichungssystem hast Du ja offensichtlich nicht vorliegen...
Schau Dir nochmal Deine Lösungsmenge an und erinnere Dich an die Schule:
> [mm]L=s*\vektor{1 \\ 0 \\ -\bruch{4}{5} \\ -1 \bruch{1}{15} \\ \bruch{1}{5}}[/mm]
> + [mm][mm] t*\vektor{0 \\ 1 \\ \bruch{3}{5} \\ -2 \bruch{13}{15} \\ -\bruch{2}{5}}
[/mm]
Das ist eine Ebene, also ein zweidimensionales Gebilde.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:00 Sa 09.12.2006 | | Autor: | Creep |
Ah vielen Dank, also und lineare Unabhängigkeit überprüfe ich wie? Ich meine hier ist es ja recht einfach da in einem Vektor der 1. Eintrag =0 ist. Gibt es da irgendwie ein "Rezept", um sowas zu überprüfen?
|
|
|
| |
|
> Ah vielen Dank, also und lineare Unabhängigkeit überprüfe
> ich wie? Ich meine hier ist es ja recht einfach da in einem
> Vektor der 1. Eintrag =0 ist. Gibt es da irgendwie ein
> "Rezept", um sowas zu überprüfen?
Es sind z.B. [mm] v_1,v_2,v_3 [/mm] linear nabhängig, wenn aus [mm] av_1+bv_2+cv_3=0 [/mm] folgt, daß a=b=c=0 ist.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:37 Sa 09.12.2006 | | Autor: | Creep |
Meinen besten Dank!
Damit habe ich ja meine Basis gefunden =). Aus dem ersten Eintrag der Vektoren ergibt sich ja schon die lineare Unabhängigkeit. Denn a*1 + b * 0 = 0, dann und nur dann, wenn a = 0
|
|
|
|
