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| Aufgabe | Bestimmen Sie eine Basis des Lösungsraums von $Ax=0$ mit
[mm] $A=\pmat{ 2 & 2 & -1 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & 2 & -3 & 1 \\ 1 & 1 & -2 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 }$. [/mm] |
Hallo.
Zu dieser Aufgabe habe ich zwei Fragen:
1. Ich verstehe nicht, wie die -2 in der zweiten Zeile der dritten Matrix zustandekommt. Handelt es sich vielleicht um einen Fehler?
2. Mit [mm] $\operatorname{span}$ [/mm] ist ja die lineare Hülle gemeint. Ich habe leider nicht verstanden, was genau die lineare Hülle ist und warum sie für das Ende dieser Aufgabe notwendig ist?
Vielen Dank für Eure Mühe.
Gruß
el_grecco
Musterlösung:
Gauß-Jordan-Elimination liefert
[mm] $\pmat{ 2 & 2 & -1 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & 2 & -3 & 1 \\ 1 & 1 & -2 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 }\sim\pmat{ 1 & 1 & -0,5 & 0 & 0,5 \\ 0 & 0 & 1,5 & -3 & 1,5 \\ 0 & 0 & -1,5 & 0 & -1,5 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 }\sim\pmat{ 1 & 1 & -0,5 & 0 & 0,5 \\ 0 & 0 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 0 }\sim\pmat{ 1 & 1 & -0,5 & 0 & 0,5 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }\sim\pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }$
[/mm]
Setzt man die Variablen, deren zugehörige Spalte keine führende Eins enthält gleich eins, erhält man zwei linear unabhängige Vektoren, die eine Basis des Lösungsraums bilden:
[mm] $L(A|0)=\operatorname{span}(\vektor{-1 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \\ 1},\vektor{-1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0})$.
[/mm]
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> Bestimmen Sie eine Basis des Lösungsraums von [mm]Ax=0[/mm] mit
>
> [mm]A=\pmat{ 2 & 2 & -1 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & 2 & -3 & 1 \\ 1 & 1 & -2 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 }[/mm].
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> Hallo.
> Zu dieser Aufgabe habe ich zwei Fragen:
>
> 1. Ich verstehe nicht, wie die -2 in der zweiten Zeile der
> dritten Matrix zustandekommt. Handelt es sich vielleicht um
> einen Fehler?
Hallo,
nein - der Traum eines jeden Studenten, nämlich einen Fehler zu entdecken, wird schon wieder enttäuscht...
Die zweite zeile der vorhergehenden Matrix wurde durch 1.5 dividiert.
> 2. Mit [mm]\operatorname{span}[/mm] ist ja die lineare Hülle
> gemeint. Ich habe leider nicht verstanden, was genau die
> lineare Hülle ist und warum sie für das Ende dieser
> Aufgabe notwendig ist?
Die lineare Hülle einer Menge von Vektoren ist die Menge der Vektoren, die man als Linearkombination der besagten Vektoren darstellen kann, also
[mm] \operatorname{span}(\vektor{-1 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \\ 1},\vektor{-1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0})[/mm]=\{\lambda\vektor{-1 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \\ 1}+\mu\vektor{-1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}|\lambda,\mu\in \IR\}.
[/mm]
Die beiden errechneten Vektoren sind eine Basis des Kerns, und der Kern besteht aus sämlichen Linearkominationen, die man daraus bilden kann.
Gruß v. Angela
>
>
> Vielen Dank für Eure Mühe.
>
> Gruß
> el_grecco
>
>
> Musterlösung:
>
> Gauß-Jordan-Elimination liefert
>
> [mm]\pmat{ 2 & 2 & -1 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & 2 & -3 & 1 \\ 1 & 1 & -2 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 }\sim\pmat{ 1 & 1 & -0,5 & 0 & 0,5 \\ 0 & 0 & 1,5 & -3 & 1,5 \\ 0 & 0 & -1,5 & 0 & -1,5 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 }\sim\pmat{ 1 & 1 & -0,5 & 0 & 0,5 \\ 0 & 0 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 0 }\sim\pmat{ 1 & 1 & -0,5 & 0 & 0,5 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }\sim\pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Setzt man die Variablen, deren zugehörige Spalte keine
> führende Eins enthält gleich eins, erhält man zwei
> linear unabhängige Vektoren, die eine Basis des
> Lösungsraums bilden:
>
> [mm]L(A|0)=\operatorname{span}(\vektor{-1 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \\ 1},\vektor{-1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0})[/mm].
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:04 So 11.04.2010 | | Autor: | el_grecco |
Gerade in der linearen Algebra sind Fehler in den Musterlösungen leider keine Seltenheit, aber eine dafür umso größere Unverschämtheit...
Danke für die Erklärung in Worten.
Gruß
el_grecco
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