Basis des Zeilen-/Spaltenraums < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a)Bestimmen Sie für die folgenden Matrizen ¨uber IR jeweils den Rang, eine Basis des Zeilenraumes und
eine Basis des Spaltenraumes.
[mm] A=\pmat{ 1 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2}
[/mm]
b) Untersuchen Sie fur die Matrizen A und B, ob Zeilenraum und Spaltenraum als Untervektorraume
des IR3 jeweils ubereinstimmen. |
Ok: Rang ist jetzt klar von (zum Nachlesen hier)
Matrix A auf zeilenstufen Form bringen, anzahl l.u. von O verschiedener Zeilen = Rang. Ist dieser Rang auch gleich der Zeilenrang? Wenn ja, ist nicht Zeilenrang = Spaltenrang? (Das habe ich in der Vorlesung aufgeschnapt.)
Die Basis des Zeilenraumes sind dann die l.u. Zeilen?
Um die Basis des Spaltenraumes zu kriegen muss ich sie dann auf Spaltenstufen form bringen?
Oder ist es besser A zu transponieren und dann wieder auf Zeilenstufenform zu bringen? Ich bin Spaltenstufenform nicht gewohnt.
b)
wenn A eine nxn Matrix ist, sind dann nicht die Zeilen und Spalten Basen gleich?
Ist der Rang = n?
somit könnte ich doch b) mit ja sind gleich beantworten,
Verständisfrage:
Ich wollte mir mal die Begriffe Vektorraum, Untervektrorraum und Basis bildlich machen und wollt mal Fragen ob mein Bsp richtig ist:
VR: der große unendlich [mm] \IR^3 [/mm] eines kartesischen Koordinatensytsems
UVR: ein würfel in diesem Raum, dessen Eckpunt im O liegt
Basis: Die Grundfläche dieses Würfels welche auf der xy Ebene und in 0 liegt.
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Hallo Hiroschiwa,
> a)Bestimmen Sie für die folgenden Matrizen ¨uber IR jeweils
> den Rang, eine Basis des Zeilenraumes und
> eine Basis des Spaltenraumes.
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> [mm]A=\pmat{ 1 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2}[/mm]
>
>
> b) Untersuchen Sie fur die Matrizen A und B, ob Zeilenraum
> und Spaltenraum als Untervektorraume
> des IR3 jeweils ubereinstimmen.
> Ok: Rang ist jetzt klar von (zum Nachlesen
> hier)
>
> Matrix A auf zeilenstufen Form bringen, anzahl l.u. von O
> verschiedener Zeilen = Rang. Ist dieser Rang auch gleich
> der Zeilenrang? Wenn ja, ist nicht Zeilenrang =
> Spaltenrang? (Das habe ich in der Vorlesung aufgeschnapt.)
Genaugenommen ist Zeilenrang definiert als Dimension des Zeilenraumes. Analog ist der Spaltenrang definiert; und dann zeigt man, daß beide übereinstimmen und spricht deshalb allgemein vom Rang der Matrix - zumindest ist das eine Möglichkeit, den Rangbegriff einzuführen.
Bei Interesse schreib ich auch gern nochmal die andere mir bekannte hin  .
>
> Die Basis des Zeilenraumes sind dann die l.u. Zeilen?
Genau.
>
> Um die Basis des Spaltenraumes zu kriegen muss ich sie dann
> auf Spaltenstufen form bringen?
>
> Oder ist es besser A zu transponieren und dann wieder auf
> Zeilenstufenform zu bringen? Ich bin Spaltenstufenform
> nicht gewohnt.
Du bildest zunächst die Matrix [mm] $A^T$, [/mm] bringst diese dann auf Zeilenstufenform und transponierst dann das Ergebnis; damit hast Du die Spaltenstufenform.
>
> b)
> wenn A eine nxn Matrix ist, sind dann nicht die Zeilen und
> Spalten Basen gleich?
> Ist der Rang = n?
Der Rang einer $n [mm] \times [/mm] n$-Matrix ist =n genau dann, wenn die Matrix invertierbar ist. Falls Du eine symmetrische Matrix hast, stimmen Zeilen- und Spaltenbasis sicher überein. Es gibt aber einen Satz, der besagt, daß eine $n [mm] \times [/mm] n$-Matrix mit Elementen aus einem Körper $K$ genau dann invertierbar ist, wenn ihre Zeilen- bzw. Spaltenvektoren eine Basis des [mm] $K^n$ [/mm] bilden. (Setz für $K$ einfach [mm] $\IR$ [/mm] ein, wenn du magst.)
Dann müßte es möglich sein, aus zwei verschiedenen Basen des [mm] $\IR^n$ [/mm] eine $n [mm] \times [/mm] n$-Matrix zu bauen, die dann zwar invertierbar, aber nicht mehr symmetrisch ist.
>
> somit könnte ich doch b) mit ja sind gleich beantworten,
>
Nicht unbedingt; s.o.
>
> Verständisfrage:
> Ich wollte mir mal die Begriffe Vektorraum,
> Untervektrorraum und Basis bildlich machen und wollt mal
> Fragen ob mein Bsp richtig ist:
> VR: der große unendlich [mm]\IR^3[/mm] eines kartesischen
> Koordinatensytsems
> UVR: ein würfel in diesem Raum, dessen Eckpunt im O liegt
> Basis: Die Grundfläche dieses Würfels welche auf der xy
> Ebene und in 0 liegt.
Leider nicht :-(. Du denkst sicher an einen Würfel mit endlicher Kantenlänge stimmts? Wäre es ein Unterraum, müßte aber auch mit jeder Würfelkante auch *jede* "gestreckte" Würfelkante drin liegen - tuts aber nicht: Ich wähle einfach eine Zahl größer als 1 und schon bin ich raus aus dem Würfel.
Tja, mir fällt jetzt auf die Schnelle auch kein besseres Beispiel ein, als die wohl in deiner Vorlesung vorgekommenen.
Hth
zahlenspieler
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