Basis des Zeilenaufspanns < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie eine Basis des Zeilenaufspanns für die Matrix:
[mm]A := \pmat{ 1 & 4 & 5 & 6 & 9 \\
3 & -2 & 1 & 4 & -1 \\
-1 & 0 & -1 & -2 & -1 \\
2 & 3 & 5 & 7 & 8 } [/mm] |
Hallo zusammen,
was darf ich mir in diesem Fall unter dem Zeilenaufspann dieser Matrix vorstellen? Sind das die Zeilenvektoren, in die man die Matrix zerlegen kann?
Generell muss ich dann ja prüfen ob die Dimension des Vektorraums, aus der die Vektoren stammen, mit der Dimension der linearen Hülle der Matrix übereinstimmt. Letztere entspricht meines Wissens nach dem Rang der Matrix – ich habe daher A schon in Zeilenstufenform gebracht und bestimmt, dass [mm]Rang(A) = 2[/mm] .
Wie muss ich hier nun weiter vorgehen?
Viele Grüße
Patrick
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> Bestimmen Sie eine Basis des Zeilenaufspanns für die
> Matrix:
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> [mm]A := \pmat{ 1 & 4 & 5 & 6 & 9 \\
3 & -2 & 1 & 4 & -1 \\
-1 & 0 & -1 & -2 & -1 \\
2 & 3 & 5 & 7 & 8 }[/mm]
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> Hallo zusammen,
>
> was darf ich mir in diesem Fall unter dem Zeilenaufspann
> dieser Matrix vorstellen?
Hallo,
der Zeilenaufspann ist der Raum, der von den vier Zeilen der Matrix aufgespannt wird.
Eine Basis dieses Raumes kannst Du finden, indem Du die Matrix in ZSF bringst: die Nichtnullzeilen sind eine Basis des aufgespannten Raumes.
LG Angela
Sind das die Zeilenvektoren, in
> die man die Matrix zerlegen kann?
>
> Generell muss ich dann ja prüfen ob die Dimension des
> Vektorraums, aus der die Vektoren stammen, mit der
> Dimension der linearen Hülle der Matrix übereinstimmt.
> Letztere entspricht meines Wissens nach dem Rang der Matrix
> – ich habe daher A schon in Zeilenstufenform gebracht und
> bestimmt, dass [mm]Rang(A) = 2[/mm] .
>
> Wie muss ich hier nun weiter vorgehen?
>
> Viele Grüße
> Patrick
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Hallo Angela,
danke für Deine Hilfe.
> der Zeilenaufspann ist der Raum, der von den vier Zeilen
> der Matrix aufgespannt wird.
Okay. Eine Frage dazu: Welchen Unterschied gibt es zwischen der linearen Hülle, die als Aufspann bezeichnet wird, und dem Zeilenaufspann?
> Eine Basis dieses Raumes kannst Du finden, indem Du die
> Matrix in ZSF bringst: die Nichtnullzeilen sind eine Basis
> des aufgespannten Raumes.
Also ist
[mm]Basis = \left \{ \vektor{1 & 4 & 5 & 6 & 9},\vektor{0 & -14 & -14 & -14 & -28} \right \}[/mm]
?
Gruß
Patrick
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> Hallo Angela,
>
> danke für Deine Hilfe.
>
> > der Zeilenaufspann ist der Raum, der von den vier Zeilen
> > der Matrix aufgespannt wird.
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> Okay. Eine Frage dazu: Welchen Unterschied gibt es zwischen
> der linearen Hülle, die als Aufspann bezeichnet wird, und
> dem Zeilenaufspann?
Hallo,
lineare Hülle und Aufspann sind dasselbe, oft wird auch "erzeugter Raum" dazu gesagt, und alle drei Begriffe sind nur sinnvoll, wenn da gesagt wird, wovon nun die lineare Hülle/der Span/der erzeugte Raum betrachtet wird.
Hier sollst Du halt den Aufspann der Zeilen der Matrix betrachten, kurz den "Zeilenaufspann". Manchmal wird's auch Zeilenraum genannt.
> > Eine Basis dieses Raumes kannst Du finden, indem Du die
> > Matrix in ZSF bringst: die Nichtnullzeilen sind eine Basis
> > des aufgespannten Raumes.
>
> Also ist
>
> [mm]Basis = \left \{ \vektor{1 & 4 & 5 & 6 & 9},\vektor{0 & -14 & -14 & -14 & -28} \right \}[/mm]
Ja, das ist eine Basis des Zeilenraumes - es gibt viele andere, aber alle bestehen aus zwei Elementen.
(Hübscher fänd ich's, wenn Du den 2.Vektor noch durch -14 teilen würdest.)
LG Angela
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> ?
>
> Gruß
> Patrick
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:45 Fr 18.01.2013 | | Autor: | Apfelchips |
> lineare Hülle und Aufspann sind dasselbe, oft wird auch
> "erzeugter Raum" dazu gesagt, und alle drei Begriffe sind
> nur sinnvoll, wenn da gesagt wird, wovon nun die lineare
> Hülle/der Span/der erzeugte Raum betrachtet wird.
>
> Hier sollst Du halt den Aufspann der Zeilen der Matrix
> betrachten, kurz den "Zeilenaufspann". Manchmal wird's auch
> Zeilenraum genannt.
Besten Dank für die Erklärung!
Viele Grüße
Patrick
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