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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:09 So 01.03.2009 | | Autor: | meep |
| Aufgabe | Es seien a1, . . . , a6 die 6 verschiedenen Vektoren im [mm] R^4 [/mm] mit jeweils genau zwei Einsen und zwei Nullen. Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen:
(i) Jede Auswahl von vier verschiedenen Vektoren aus {a1, . . . , a6} bildet eine Basis des [mm] R^4.
[/mm]
(ii) Keine Auswahl von vier verschiedenen Vektoren aus {a1, . . . , a6} bildet eine Basis des [mm] R^4. [/mm] |
hi zusammen,
bei der aufgabe bin ich wie folgt vorgegangen, ich hab erstmal eine matrix aus den 6 vektoren gebildet die dann wie folgt lautet
A = [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 1 }
[/mm]
nach ewigem umformen kam ich dann auf
A = [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 }
[/mm]
und die sind dann linear unabhängig weil det(A) [mm] \not= [/mm] 0 ist,
das heißt dann ja, dass jede kombination aus 4 vektoren eine Basis des [mm] R^4 [/mm] bilden, oder ist das ein trugschluss von mir ?
vielen dank schonmal im voraus
meep
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Hallo meep,
> Es seien a1, . . . , a6 die 6 verschiedenen Vektoren im [mm]R^4[/mm]
> mit jeweils genau zwei Einsen und zwei Nullen. Beweisen
> oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen:
>
> (i) Jede Auswahl von vier verschiedenen Vektoren aus {a1, .
> . . , a6} bildet eine Basis des [mm]R^4.[/mm]
>
> (ii) Keine Auswahl von vier verschiedenen Vektoren aus {a1,
> . . . , a6} bildet eine Basis des [mm]R^4.[/mm]
> hi zusammen,
>
> bei der aufgabe bin ich wie folgt vorgegangen, ich hab
> erstmal eine matrix aus den 6 vektoren gebildet die dann
> wie folgt lautet
>
> A = [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 1 }[/mm]
Forme statt dessen [mm]A^{t}[/mm] ( die Transponierte Deiner Matrix A ) so um,
wie Du es mit A auch gemacht hast.
>
> nach ewigem umformen kam ich dann auf
>
> A = [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 }[/mm]
>
> und die sind dann linear unabhängig weil det(A) [mm]\not=[/mm] 0
> ist,
>
> das heißt dann ja, dass jede kombination aus 4 vektoren
> eine Basis des [mm]R^4[/mm] bilden, oder ist das ein trugschluss von
> mir ?
Das ist ein Trugschluss:
[mm]\pmat{1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1}[/mm] ist keine Basis des [mm]\IR^{4}[/mm]
>
> vielen dank schonmal im voraus
>
> meep
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:38 So 01.03.2009 | | Autor: | meep |
jepp stimmt die determinante ist null, hab mich sogar noch verrechnet, aber die beweisidee war doch die richtige richtung oder ?
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Hallo meep,
> jepp stimmt die determinante ist null, hab mich sogar noch
> verrechnet, aber die beweisidee war doch die richtige
> richtung oder ?
Ja.
Die Idee, ist ja immer die Bedingung der linearen Unabhängigkeit nachzuprüfen.
Hier also
[mm]\alpha*a_{1}+\beta*a_{2}+\gamma*a_{3}+\delta*a{4}+\epsilon*a_{5}+\mu*a_{6}=0[/mm]
Gruß
MathePower
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