Basis eine Untervektorraumes < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei U = {x = [mm] (x1,x2,x3,x4)^T \in \IR^4 [/mm] | x1 + 2 · x2 + 3 · x3 + 4 · x4 = 0}.
(i) Zeigen Sie, dass U ein Teilraum von [mm] \IR^{4} [/mm] ist.
(ii) Bestimmen Sie eine Basis von U.
(iii) Welche Dimension hat U? |
Ich habe eine Frage zu ii) und zwar weiss ich nicht so genau wie ich die Basis in diesem Fall bestimmen kann. Ich habe bereits versucht ein erzeugendensystem zu finden aber das ist keine Basis. Ich wäre Dankbar wenn mir jemand einen Tipp für einen Lösungsweg geben könnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi, speedy,
> Es sei U = [mm] \{ x = (x1,x2,x3,x4)^T \in \IR^4 | x1 + 2 x2 + 3 x3 + 4 x4 = 0 \}.
[/mm]
> (i) Zeigen Sie, dass U ein Teilraum von [mm]\IR^{4}[/mm] ist.
> (ii) Bestimmen Sie eine Basis von U.
> (iii) Welche Dimension hat U?
> Ich habe eine Frage zu ii) und zwar weiss ich nicht so
> genau wie ich die Basis in diesem Fall bestimmen kann. Ich
> habe bereits versucht ein erzeugendensystem zu finden aber
> das ist keine Basis. Ich wäre Dankbar wenn mir jemand einen
> Tipp für einen Lösungsweg geben könnte.
Im Grunde ist x1 + 2 · x2 + 3 · x3 + 4 · x4 = 0
doch nichts anderes als EINE Gleichung mit VIER Unbekannten.
Demnach hast Du 3 Freiheitsgrade, z.B.:
[mm] x_{2} [/mm] = [mm] \lambda; [/mm]
[mm] x_{3} [/mm] = [mm] \mu; [/mm]
[mm] x_{4} [/mm] = [mm] \nu.
[/mm]
Daraus erhältst Du:
[mm] x_{1} [/mm] = - 2 · [mm] x_{2} [/mm] - 3 · [mm] x_{3} [/mm] - 4 · [mm] x_{4}
[/mm]
[mm] x_{1} [/mm] = - 2 · [mm] \lambda [/mm] - 3 · [mm] \mu [/mm] - 4 · [mm] \nu
[/mm]
Vektoriell geschrieben:
[mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} } [/mm] = [mm] \vektor{- 2 \lambda - 3 \mu - 4 \nu \\ \lambda \\ \mu \\ \nu } [/mm]
Oder übersichtlicher:
[mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \lambda*\vektor{-2 \\ 1 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] \mu*\vektor{-3 \\ 0 \\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] \nu*\vektor{-4 \\ 0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Die Vektoren auf der rechten Seite bilden eine mögliche Basis des Vektorraums, der offensichtlich die Dimension 3 hat.
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:50 So 07.01.2007 | | Autor: | speedy1984 |
Ah okay danke ;) Jetzt kann ich die Aufgabe lösen...
Vielen Dank für die Hilfe!
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