Basis einer 2x2 Matrix < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei F : M(2 × 2) [mm] \to [/mm] M(2 × 2) eine lineare Abbildung mit
F = [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & b \\ b & 0 }
[/mm]
Man führe für die nachstehend angegebenen Matrizen folgendes Programm durch:
(i) Welche der folgenden Matrizen ist ein Element von Kern(F).
(ii) Welche der folgenden Matrizen ist ein Element von Bild(F).
(iii) Man beschreibe Kern(F) und Bild(F) jeweils durch die Angabe einer Basis.
a) [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ -1 & 3 } [/mm] , b) [mm] \pmat{ 0 & 4 \\ 2 & 0 } [/mm] , c) [mm] \pmat{ 3 & 0 \\ 0 & -3 } [/mm] , d) [mm] \pmat{ 0 & 3 \\ 3 & 0 } [/mm] , [mm] e)\pmat{ 2 & 0 \\ 4 & 1 }
[/mm]
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Hallo,
i) ist klar
ii) hier würde ich ja eine Basis brauchen um zu bestimmen, ob die Matrizen eine Linearkombination der Basis(matrizen?) sind
iii) hier weiß ich nicht wie ich die Basis finden soll, für den Kern hätt ich die Matrix = Null gesetz, das gäbe dann als Lösung das b=0 sein muss und a,c,d beliebig sein können sodass das F(M) null ist, also im Kern liegt.
Für die Bestimmung der Basis d. Bildes weiß ich nicht von welcher Basis aus ich abbilden soll.
Ich hoffe es kann mir hier jemand weiter helfen.
mfg tom
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> Sei F : M(2 × 2) [mm]\to[/mm] M(2 × 2) eine lineare Abbildung mit
>
> F = [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm] = [mm]\pmat{ 0 & b \\ b & 0 }[/mm]
> Man
> führe für die nachstehend angegebenen Matrizen folgendes
> Programm durch:
> (i) Welche der folgenden Matrizen ist ein Element von
> Kern(F).
> (ii) Welche der folgenden Matrizen ist ein Element von
> Bild(F).
> (iii) Man beschreibe Kern(F) und Bild(F) jeweils durch die
> Angabe einer Basis.
>
> a) [mm]\pmat{ 1 & 2 \\ -1 & 3 }[/mm] , b) [mm]\pmat{ 0 & 4 \\ 2 & 0 }[/mm] ,
> c) [mm]\pmat{ 3 & 0 \\ 0 & -3 }[/mm] , d) [mm]\pmat{ 0 & 3 \\ 3 & 0 }[/mm] ,
> [mm]e)\pmat{ 2 & 0 \\ 4 & 1 }[/mm]
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> Hallo,
>
> i) ist klar
> ii) hier würde ich ja eine Basis brauchen um zu bestimmen,
> ob die Matrizen eine Linearkombination der Basis(matrizen?)
> sind
Hallo,
na, eine Basis des Vektorraumes der 2x2-Matrizen wäre ja schnell gefunden, aber Du brauchst sie für diese Aufgabe nicht.
Ich nehme an, daß das oben ein Tippfehler ist, und es eigentlich heißen sollte
F ([mm]\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm])= [mm]\pmat{ 0 & b \\ b & 0 }[/mm].
Du mußt doch jetzt nur schauen, welche der Matrizen die passende gestalt hat.
Alle Matrizen, auf die was abgebildet wird, haben doch Nullen auf der Hauptdiagonalen und an den beiden anderen Plätzen dasselbe Element.
> iii) hier weiß ich nicht wie ich die Basis finden soll,
> für den Kern hätt ich die Matrix = Null gesetz, das gäbe
> dann als Lösung das b=0 sein muss und a,c,d beliebig sein
> können
Aha. Das ist doch brauchbar.
Die Matrizen, die im Kern sind, haben also die Gestalt [mm] \pmat{ a & 0 \\ c & d }, [/mm] mit völlig beliebigen a,b,c.
Es ist [mm] \pmat{ a & 0 \\ c & d }=a \pmat{1 & 0 \\ 0& 0 }+c \pmat{0 & 0 \\ 1& 0 }+d \pmat{0 & 0 \\ 0& 1 }, [/mm] also eine Linearkombination wovon?
> Für die Bestimmung der Basis d. Bildes weiß ich nicht von
> welcher Basis aus ich abbilden soll.
Suche Matrizen so, daß Du jede Matrix des Bildes als Linearkombination schreiben kannst. (Tip: eine Matrix reicht hier.)
Gruß v. Angela
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Hallo,
danke erstmal.
> Aha. Das ist doch brauchbar.
>
> Die Matrizen, die im Kern sind, haben also die Gestalt
> [mm]\pmat{ a & 0 \\ c & d },[/mm] mit völlig beliebigen a,b,c.
>
> Es ist [mm]\pmat{ a & 0 \\ c & d }=a \pmat{1 & 0 \\ 0& 0 }+c \pmat{0 & 0 \\ 1& 0 }+d \pmat{0 & 0 \\ 0& 1 },[/mm]
> also eine Linearkombination wovon?
Eine Linearkombination der Basis nehme ich mal an, also hab ich die 3 Matrizen als Basis für den KernF.
> Suche Matrizen so, daß Du jede Matrix des Bildes als
> Linearkombination schreiben kannst. (Tip: eine Matrix
> reicht hier.)
Also reicht eine Matrix der Form [mm] \pmat{0 & x \\ y & 0 } [/mm] mit x,y [mm] \in \IR [/mm] aus als Basis des Bildes?
Oder hab ich da was falsch verstanden.
mfg tom
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> Hallo,
>
> danke erstmal.
>
> > Aha. Das ist doch brauchbar.
> >
> > Die Matrizen, die im Kern sind, haben also die Gestalt
> > [mm]\pmat{ a & 0 \\ c & d },[/mm] mit völlig beliebigen a,b,c.
> >
> > Es ist [mm]\pmat{ a & 0 \\ c & d }=a \pmat{1 & 0 \\ 0& 0 }+c \pmat{0 & 0 \\ 1& 0 }+d \pmat{0 & 0 \\ 0& 1 },[/mm]
> > also eine Linearkombination wovon?
>
> Eine Linearkombination der Basis nehme ich mal an, also hab
> ich die 3 Matrizen als Basis für den KernF.
Hallo,
genau. Daß sie linear unabhängig sind, mußt Du vielelicht noch überlegen.
>
> > Suche Matrizen so, daß Du jede Matrix des Bildes als
> > Linearkombination schreiben kannst. (Tip: eine Matrix
> > reicht hier.)
>
> Also reicht eine Matrix der Form [mm]\pmat{0 & x \\ y & 0 }[/mm] mit
> x,y [mm]\in \IR[/mm] aus als Basis des Bildes?
> Oder hab ich da was falsch verstanden.
Du hast etwas falsch verstanden. Eine Basis ist fest. Sie enthält keine Variablen.
Was wird denn gesagt, auf welche Matrizen alles abgebildet wird?
[mm] \pmat{0 & x \\ y & 0 } [/mm] ist ja für x=5 und y=28 überhaupt nicht im Bild?
Wie sehen die Matrizen des Bildes aus?
Gruß v. Angela
>
> mfg tom
>
>
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Hallo,
> genau. Daß sie linear unabhängig sind, mußt Du vielelicht
> noch überlegen.
Ähm, wie geht das bei Matrizen, ich hätte hier einfach gesagt das es offensichtlich ist, das sich keine
aus Kombinationen der anderen erstellen lässt. gibt es da eine vernünftige Beweismethode?
> >
> > > Suche Matrizen so, daß Du jede Matrix des Bildes als
> > > Linearkombination schreiben kannst. (Tip: eine Matrix
> > > reicht hier.)
> >
> > Also reicht eine Matrix der Form [mm]\pmat{0 & x \\ y & 0 }[/mm] mit
> > x,y [mm]\in \IR[/mm] aus als Basis des Bildes?
> > Oder hab ich da was falsch verstanden.
>
> Du hast etwas falsch verstanden. Eine Basis ist fest. Sie
> enthält keine Variablen.
>
> Was wird denn gesagt, auf welche Matrizen alles abgebildet
> wird?
>
> [mm]\pmat{0 & x \\ y & 0 }[/mm] ist ja für x=5 und y=28 überhaupt
> nicht im Bild?
> Wie sehen die Matrizen des Bildes aus?
>
Achso, [mm] \pmat{0 & 1 \\ 1 & 0 } [/mm] wär dann eine Basis, oder? Die Elemente der Diagonale müssen ja gleich sein.
> Gruß v. Angela
mfg tom
>
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> Hallo,
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> > genau. Daß sie linear unabhängig sind, mußt Du vielelicht
> > noch überlegen.
>
> Ähm, wie geht das bei Matrizen, ich hätte hier einfach
> gesagt das es offensichtlich ist, das sich keine
> aus Kombinationen der anderen erstellen lässt. gibt es da
> eine vernünftige Beweismethode?
Hallo,
klar.
das geht hier wie immer. Vektoren (Deine vektoren sind hier ja Matrizen) sind linear unabhängig, wenn nur die triviale Linearkombination die Null ergibt.
Mach mal!
> >
> Achso, [mm]\pmat{0 & 1 \\ 1 & 0 }[/mm] wär dann eine Basis, oder?
> Die Elemente der Diagonale müssen ja gleich sein.
Jawoll.
Gruß v. Angela
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Also so?
0 * [mm] \pmat{1 & 0 \\ 0& 0 }+0 [/mm] * [mm] \pmat{0 & 0 \\ 1& 0 }+0 [/mm] * [mm] \pmat{0 & 0 \\ 0& 1 } [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }
[/mm]
mfg tom
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> Also so?
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> 0 * [mm]\pmat{1 & 0 \\ 0& 0 }+0[/mm] * [mm]\pmat{0 & 0 \\ 1& 0 }+0[/mm] *
> [mm]\pmat{0 & 0 \\ 0& 1 }[/mm] = [mm]\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm]
Hallo,
daß das gilt, ist ja kein Geheimnis.
Du mußt aus a * [mm]\pmat{1 & 0 \\ 0& 0 }+b[/mm] * [mm]\pmat{0 & 0 \\ 1& 0 }+c[/mm] * [mm]\pmat{0 & 0 \\ 0& 1 }[/mm] = [mm]\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm]
folgern, daß zwangsläufig a=b=c=0 sein muß.
Rechne die linke Seite dafür aus und vergleiche mit der rechten.
Gruß v. Angela
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