Basis einer Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:02 Di 01.04.2008 | | Autor: | kaoh |
| Aufgabe | A = [mm] \pmat{ 1 & 2 & -1\\2 & 4 & 0 \\3 & 6 & -2}
[/mm]
Geben Sie eine Basis von {x ∈ [mm] R^3 [/mm] | A · x = 0} an. |
durch den gauß alg. gejagt bekomm ich da:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & -1 & 0\\0 & 0 & 2 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0}
[/mm]
so als musterlösung für die basis habe ich folgendes:
{x ∈ [mm] R^3 [/mm] | A · x = 0} = {t(−2, 1, [mm] 0)^T [/mm] | t ∈ R} =⇒
{x ∈ [mm] R^3 [/mm] | A · x = 0} = <(−2, 1, [mm] 0)^T>
[/mm]
nun ich würd die basis aber folgendermaßen angeben: ich guck mir die matrix an, sehe der erste und der dritte vektor sind linear unabhängig und kann dann schreiben eine basis ist:
[mm] <{\pmat{ 1 \\ 2 \\ 3} \pmat{ -1 \\ 0 \\ 2 }}>
[/mm]
was isn nun richtig?
vielen dank im voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:08 Di 01.04.2008 | | Autor: | Merle23 |
Die Musterlösung natürlich ^^
Nach dem der Gaußalgorithmus angewendet wurde, sieht man, dass die Matrix eine 'Nullzeile" hat, also muss der Kern Dimension eins haben, also kann deine Lösung auf keinen Fall richtig sein.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:16 Di 01.04.2008 | | Autor: | kaoh |
:( hab jetzt aber schon so oft gesehen dass man das mit den lin. unabhängigen vektoren machen kann .. bin bischen verwirrt..
zum beispiel hier: https://matheraum.de/read?i=383664
da schreibt angela.h.b.:
"Die führenden Elemente der Nichtnullzeilen stehen in der 1. und 2. Spalte.
Hieraus kannst Du wissen, daß Dein erster und zweiter Startvektor eine basis des aufgespannten Raumes sind - es gibt noch viele andere basen, aber eine hast Du hiermit sicher gefunden."
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:27 Di 01.04.2008 | | Autor: | Merle23 |
> :( hab jetzt aber schon so oft gesehen dass man das mit
> den lin. unabhängigen vektoren machen kann .. bin bischen
> verwirrt..
> zum beispiel hier: https://matheraum.de/read?i=383664
>
> da schreibt angela.h.b.:
> "Die führenden Elemente der Nichtnullzeilen stehen in der
> 1. und 2. Spalte.
> Hieraus kannst Du wissen, daß Dein erster und zweiter
> Startvektor eine basis des aufgespannten Raumes sind - es
> gibt noch viele andere basen, aber eine hast Du hiermit
> sicher gefunden."
Der aufgespannte Raum ist was anderes als das, was du berechnen willst.
Du willst [mm] \{x\in\IR^3|Ax=0\}, [/mm] angela.h.b. berechnet [mm] \{x\in\IR^3|\exists y\in\IR^3 mit Ay=x\}, [/mm] oder anders ausgedrückt, du willst den Kern der Matrix haben, hast aber das Bild der Matrix ausgerechnet.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:28 Di 01.04.2008 | | Autor: | kaoh |
ahh vielen dank das bringt mich schon ma weiter :)
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