Basis eines Erzeugendensystems < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:34 Mi 25.01.2012 | | Autor: | Chrism91 |
| Aufgabe | Gegeben sei das folgende Erzeugendensystem E von [mm] \IR^{4}. [/mm] Bestimmen sie eine Basis B [mm] \subseteq [/mm] E.
[mm] E:=\vmat{ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 } [/mm] , [mm] \vmat{ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 } [/mm] , [mm] \vmat{ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 } [/mm] , [mm] \vmat{ 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 } [/mm] , [mm] \vmat{ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 } [/mm] , [mm] \vmat{ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 } [/mm] |
Ein Erzeugendensystem besitzt nur eine Basis, sofern sie linear unabgängig ist. Also ein Null-Vektor nur erzeugt werden kann indem man alle Koeffizienten auf 0 setzt.
Allerdings kann man in dem Erzeugendensystem den Null-Vektor auch anders erzeugen.
z.B. durch : [mm] v_{1} [/mm] + [mm] v_{6} [/mm] - [mm] v_{2} [/mm] - [mm] v_{4}
[/mm]
Wo ist hier mein Denkfehler?
Und wie gehe ich an diese Aufgabe ran?
Ich habe bereits einige Dinge ausprobiert, bin aber auf kein sinvolles Ergebnis gekommen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:40 Do 26.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Gegeben sei das folgende Erzeugendensystem E von [mm]\IR^{4}.[/mm]
> Bestimmen sie eine Basis B [mm]\subseteq[/mm] E.
>
> [mm]E:=\vmat{ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 }[/mm] , [mm]\vmat{ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 }[/mm] ,[mm]\vmat{ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 }[/mm] , [mm]\vmat{ 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 }[/mm] [mm]\vmat{ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 }[/mm] , [mm]\vmat{ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 }[/mm]
Du kannst Vektoren so schreiben (draufklicken): [mm] $\vektor{x\\y}$ [/mm] oder [mm] $\pmat{x\\y}$
[/mm]
> Ein
> Erzeugendensystem besitzt nur eine Basis, sofern sie linear
> unabgängig ist.
Der Satz macht schon keinen Sinn.
> Also ein Null-Vektor nur erzeugt werden
> kann indem man alle Koeffizienten auf 0 setzt.
> Allerdings kann man in dem Erzeugendensystem den
> Null-Vektor auch anders erzeugen.
> z.B. durch : [mm]v_{1}[/mm] + [mm]v_{6}[/mm] - [mm]v_{2}[/mm] - [mm]v_{4}[/mm]
Das zeigt nur, dass [mm] $\{v_1,v_6,v_2,v_4\}$ [/mm] linear abhängig ist und damit keine Basis des [mm] $\IR^4$ [/mm] sein kann.
> Wo ist hier mein Denkfehler?
Du verstehst die Aufgabe entweder nicht, oder aber falsch.
> Und wie gehe ich an diese Aufgabe ran?
> Ich habe bereits einige Dinge ausprobiert, bin aber auf
> kein sinvolles Ergebnis gekommen.
Naja, Du sollst eine Teilmenge [mm] $B\,$ [/mm] von [mm] $E=\{v_1,v_2,v_3,v_4,v_5,v_6\}$ [/mm] finden, die eine Basis des [mm] $\IR^4$ [/mm] ist. Was wissen wir?
[mm] $\IR^4$ [/mm] hat die Dimension [mm] $4\,,$ [/mm] also müssen wir [mm] $4\,$ [/mm] Vektoren aus [mm] $E\,$ [/mm] so in eine Menge [mm] $B\,$ [/mm] schmeißen, so dass die 4 Vektoren aus [mm] $B\,$ [/mm] schon den [mm] $\IR^4$ [/mm] erzeugen. Äquivalent dazu kann man die Aufgabe wie folgt formulieren:
Finde eine Menge $B [mm] \subseteq [/mm] E$ mit $|B|=4$ und so, dass [mm] $B\,$ [/mm] linear unabhängig ist. Solch' einen Satz für endlichdimensionale Vektorräume lernt man in der linearen Algebra:
Dass eine Basis aus einer maximalen Anzahl linear unabhängiger Vektoren besteht, bzw. dass eine jede Basis ein "minimales" Erzeugendensystem ist.
Ein triviales Beispiel:
Sei [mm] $E:=\left\{\vektor{1\\0},\vektor{1\\1}, \vektor{3\\4}, \vektor{5\\6}\right\}\,.$ [/mm] Dann ist [mm] $E\,$ [/mm] ein Erzeugendensystem des [mm] $\IR^2\,.$
[/mm]
Da (leicht nachzurechnen) [mm] $\vektor{1\\1}$ [/mm] und [mm] $\vektor{1\\0}$ [/mm] linear unabhängig sind, ist
[mm] $$B'_{\IR^2}:=\left\{\vektor{1\\0},\;\vektor{1\\1}\right\} \subseteq [/mm] E$$
eine Basis des [mm] $\IR^2\,,$ [/mm] da im [mm] $\IR^2$ [/mm] eine linear unabhängige Teilmenge aus maximal zwei Vektoren besteht.
(Natürlich wäre auch [mm] $\left\{\vektor{3\\4},\vektor{5\\6}\right\}$ [/mm] eine Basis des [mm] $\IR^2\,.$ [/mm] Hier wäre die lineare Unabhängigkeit "minimal schwerer" nachzurechnen bzw. zu begründen.)
Oben ist der Raum mit der Dimension 4 natürlich ein wenig "höherdimensionaler", so dass man durch "sukzessives Testen, ob die aktuell [mm] $k\,$-elementige [/mm] Teilmenge auch linear unabhängig ist", natürlich nicht besonders effizient eine solche Basis findet. Es gibt aber gewisse Zusammenhänge, etwa zum Gaußverfahren... Nachdem man eine entsprechende Matrix auf Zeilenstufenform gebracht hat, kann man quasi, sofern man den Algorithmus "gut dokumentiert" hat, erkennen, welche Vektoren man etwa wählen kann.
Aber dazu solltest Du etwas in der Vorlesung finden. Ansonsten kannst Du oben quasi auch so vorgehen, dass Du einfach mal mit 4 Vektoren eine $4 [mm] \times [/mm] 4$-Matrix baust und guckst, ob die Determinante Null wird. Und nun wirfst Du solange je 4 der 6 Vektoren in eine $4 [mm] \times [/mm] 4$-Matrix, bis die Determinante nicht mehr verschwindet.
P.S.:
Merksatz: In einem endlichdimensionalen Vektorraum, er habe die Dimension [mm] $n\,,$ [/mm] sind mehr als [mm] $n\,$ [/mm] Vektoren stets linear abhängig, und eine Basis besteht IMMER aus [mm] $n\,$ [/mm] Vektoren. Beachte in endlichdimensionalen Vektorräumen:
Basen sind NICHT eindeutig (wozu gäbe es auch sonst sowas wie BASISTRANSFORMATION/Basisaustauschsatz ...), die Anzahl der Elemente einer Basis schon: Letzteres ist gerade die Dimension [mm] $n\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
