Basis eines Vektorraumes < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gegeben sind die Vektoren:
b1 = (1 -1 1 1)T
b2 = (1 1 1 0)T
b3 = (1 -1 -1 1)T
b4 = (1 1 -1 1)T
T = Transponiert
Man zeige, dass diese Vektoren eine Basis des R4 bilden. |
Hallo... 
ja... eben genau das soll ich machen... ich weiss nur leider nicht wie ich anfangen sollte damit... kann mir jemand einen tipp dazu geben? Ich denke mal mit der Zeilen-Stufen form auf lineare unabhängigkeit überprüfen... und dann?
Bin nicht auf ein vollständiges Ergebnis aus 
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:56 Do 25.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
im [mm] \IR^4 [/mm] brauchst du 4 lin. unabh. Vektoren für eine Basis. Wenn die 4 also lin unabh. sind hast du eine Basis aus ihnen
jetz stell also fest (aus der Def. von lin unabh) ob sie das sind.
gruss leduart
|
|
|
| |
|
ok hab ich gemacht... also mit zeilenvertauschen usw. auf zeilen stufen form gebracht und das ist das ergebnis:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1}
[/mm]
ok... und mehr ist nicht zu machen?
danke & lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:49 Do 25.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> ok hab ich gemacht... also mit zeilenvertauschen usw. auf
> zeilen stufen form gebracht und das ist das ergebnis:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1}[/mm]
>
> ok... und mehr ist nicht zu machen?
nein
Fred
>
> danke & lg
|
|
|
| |
|
ok, ok also das ist jetzt meine Basis?
Die Aufgabenstellung geht nämlich noch weiter und zwar:
Man berechne den Koordinatenvektor von
[mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
bezuëglich dieser Basis.
Ich denke mal, ich muss das mit der Einheitsmatrix multiplizieren oder?
danke & lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:18 Do 25.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du ddeb zweiten Teil gleich nit dem ersten genacht hättest wärst du schon fertig, weil du dann weisst wie die (1,0,0,0) zustande gekommen ist
jetzt musst du einfach diesen Vektor als linearkombination der 4 gegebenen hinschreiben.
gruss leduart
|
|
|
| |
|
ups sry mein fehler...
als linearkombination? sry aber ich steh da grad echt auf dem schlauch!
danke & lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:41 Do 25.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich nenn deine 4 gegebenen Vektoren [mm] b_1,b_2,b_3,b_4
[/mm]
jetzt musst du den Vektor [mm] (1,0,0,0)^T=\lambda_1*b_1+\lambda_2*b_2+\lambda_3*b_3+\lambda_4*b_4 [/mm] schreiben, also die [mm] \lambda_i [/mm] bestimmen.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
ok super danke, jetzt ist (fast) alles klar... Hab das jetzt alles mit lambda multipliziert und ausgerechnet und bin auf das richtige ergebnis gekommen. -> danke.
Nochmal kurz zur zusammenfassung:
a) Man zeige, dass diese Vektoren eine Basis des R4 bilden:
->Vektoren auf Zeilen Stufen form bringen -> wenn das klappt, dann ist es eine Basis des R4. Richtig?
b) Man berechne den Koordinatenvektor [VEKTOR]
also wie eben: b1 * lambda1 usw... gleichungen lösen und fertig. Richtig?
danke & lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:48 Do 25.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu 1 Wenn dabei eine Nullzeile (oder mehr) entsteht ist es auch Zeilen-stufen form (Dreicksform reicht) aber keine basis. die Dreiecksform ist ja nur die art zu zeigen, dass es nur eine linearkomb, der Vektoren zu 0 gibt, wenn alle [mm] 7lambda_i [/mm] 0 sind.
Aber du meinst wohl das richtge.
zu2 ja, wenn man das bei 1 schon weiss kann man es direkt mitausrechnen
gruss leduart
|
|
|
| |
|
super danke!
dann bis bald
|
|
|
|
