Basis eines Vektorraums < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | i ) Bestimmen Sie alle a [mm] \in \IR [/mm] so, dass { [mm] {\pmat{ 1 + a \\ 2 } , \pmat{ 1 \\ 2 + a }} [/mm] } eine Basis von [mm] R^{2,1} [/mm] ist.
ii) Sei K ein Körper , A [mm] \in K^{n,n} [/mm] und v [mm] \in K^{n} [/mm] mit [mm] A^{p-1}v \not= [/mm] 0 und [mm] A^{p}v=0. [/mm] Zeigen Sie, dass die Vektoren v, Av, [mm] A^{2}v, [/mm] ... [mm] ,A^{p-1}v \in K^{n} [/mm] linear unabhängig sind. |
Huhu ,
fangen wir mal mit i) an:
Auf den ersten Blick fand ich diese Aufgabe gar nicht so schwer. Wir wissen ja, dass bei einer Basis die Vektoren [mm] \pmat{ 1 + a \\ 2 } [/mm] , [mm] \pmat{ 1 \\ 2 + a } [/mm] linear unabhängig sein müssen und den ganzen Vektorraum [mm] R^{2,1} [/mm] erzeugen müssen.
Ich fange erstmal mit der linearen Unabhängigkeit an:
[mm] \beta \pmat{ 1 + a \\ 2 } [/mm] + [mm] \gamma \pmat{ 1 \\ 2 + a } [/mm] = 0
Daraus würde dann das folgende Gleichungssystem entstehen:
[mm] \beta [/mm] ( 1+a) + [mm] \gamma [/mm] = 0 --> [mm] \gamma [/mm] = - [mm] \beta [/mm] ( 1+a)
[mm] \beta [/mm] 2 + [mm] \gamma [/mm] (2+a) = 0
[mm] \gamma [/mm] in die 2. Gleichung einsetzen: [mm] \beta [/mm] 2 - [mm] \beta [/mm] ( 1+a) (2+a) = 0
[mm] \gdw \beta [/mm] 2 - [mm] \beta (a^{2}+3a+2) [/mm] = 0 [mm] \gdw [/mm] - [mm] \beta(a^{2}+3a) [/mm] = 0
Hiernach könnte jetzt einmal [mm] \beta [/mm] = 0 sein und dann oben eingesetzt würde bedeuten, dass auch [mm] \gamma [/mm] = 0 ist. Dann wären ja beide Vektoren linear abhängig.
Jedoch könnte ja nun auch [mm] a^{2}+3a [/mm] = 0 sein. Das ist das gleiche wie a(a+3) = 0 . Darauf folgt dann , dass a =-3 oder 0 sein muss. Dann wäre das aber linear abhängig und das wollen wir ja nicht. Müsste ich dann a [mm] \not= [/mm] 0 und a [mm] \not= [/mm] -3 wählen, damit die Vektoren linear unabhängig sind?
Dann muss ja noch gezeigt werden, dass die Vektoren den ganzen Vektorraum aufspannen, aber hier habe ich absolut keine Ahnung wie ich das zeigen soll?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum und auf keine anderen Internetseiten gestellt.
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> i ) Bestimmen Sie alle a [mm]\in \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
so, dass { [mm]{\pmat{ 1 + a \\
2 } , \pmat{ 1 \\
2 + a }}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> } eine Basis von [mm]R^{2,1}[/mm] ist.
>
> ii) Sei K ein Körper , A [mm]\in K^{n,n}[/mm] und v [mm]\in K^{n}[/mm] mit
> [mm]A^{p-1}v \not=[/mm] 0 und [mm]A^{p}v=0.[/mm] Zeigen Sie, dass die
> Vektoren v, Av, [mm]A^{2}v,[/mm] ... [mm],A^{p-1}v \in K^{n}[/mm] linear
> unabhängig sind.
> Huhu ,
>
> fangen wir mal mit i) an:
>
> Auf den ersten Blick fand ich diese Aufgabe gar nicht so
> schwer. Wir wissen ja, dass bei einer Basis die Vektoren
> [mm]\pmat{ 1 + a \\
2 }[/mm] , [mm]\pmat{ 1 \\
2 + a }[/mm] linear
> unabhängig sein müssen und den ganzen Vektorraum [mm]R^{2,1}[/mm]
> erzeugen müssen.
>
> Ich fange erstmal mit der linearen Unabhängigkeit an:
>
> [mm]\beta \pmat{ 1 + a \\
2 }[/mm] + [mm]\gamma \pmat{ 1 \\
2 + a }[/mm] = 0
>
> Daraus würde dann das folgende Gleichungssystem entstehen:
>
> [mm]\beta[/mm] ( 1+a) + [mm]\gamma[/mm] = 0 --> [mm]\gamma[/mm] = -
> [mm]\beta[/mm] ( 1+a)
> [mm]\beta[/mm] 2 + [mm]\gamma[/mm] (2+a) = 0
>
> [mm]\gamma[/mm] in die 2. Gleichung einsetzen: [mm]\beta[/mm] 2 - [mm]\beta[/mm] (
> 1+a) (2+a) = 0
>
> [mm]\gdw \beta[/mm] 2 - [mm]\beta (a^{2}+3a+2)[/mm] = 0 [mm]\gdw[/mm] -
> [mm]\beta(a^{2}+3a)[/mm] = 0
>
Hallo,
sofern [mm] a^2+3a\not=0,
[/mm]
> [s]Hiernach könnte[/b] müßte jetzt einmal [mm]\beta[/mm] = 0 sein und dann oben
> eingesetzt würde bedeuten, dass auch [mm]\gamma[/mm] = 0 ist. Dann
> wären ja beide Vektoren linear abhängig.
Nein! Sie wären unabhängig!
>
> Jedoch könnte ja nun auch [mm]a^{2}+3a[/mm] = 0 sein. Das ist das
> gleiche wie a(a+3) = 0 . Darauf folgt dann , dass a =-3
> oder 0 sein muss. Dann wäre das aber linear abhängig und
> das wollen wir ja nicht. Müsste ich dann a [mm]\not=[/mm] 0 und a
> [mm]\not=[/mm] -3 wählen, damit die Vektoren linear unabhängig
> sind?
Genau.
Du hättest auch den Weg über die Determinante der Matrix, welch die beiden Vektoren in den Spalten enthält, gehen können: det=0 <==> Vektoren abhängig.
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> Dann muss ja noch gezeigt werden, dass die Vektoren den
> ganzen Vektorraum aufspannen, aber hier habe ich absolut
> keine Ahnung wie ich das zeigen soll?
Du mußt das gar nicht mehr zeigen, denn Du weißt sicher daß dim [mm] \IR^2=2.
[/mm]
Also sind zwei linear unabhängige Vektoren auf jeden Fall eine Basis.
Wenn Du es unbedingt noch vorrechnen möchtest:
Du mußt zeigen, daß Du für beliebige [mm] x,y\in \IR [/mm] passende [mm] \lambda, \mu [/mm] findest mit
[mm] \vektor{x\\y}=\lambda $\pmat{ 1 + a \\ 2 }$ [/mm] + [mm] $\mu \pmat{ 1 \\ 2 + a }$ [/mm] ,
mußt also sagen, wie [mm] \lambda, \mu [/mm] aussehen müssen. Sie werden natürlich von a,x,y abhängen.
LG Angela
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> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum und auf keine
> anderen Internetseiten gestellt.
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Danke für die Hilfe. =)
Jetzt würde ich gerne zu ii) kommen. Ich habe absolut keinen Ansatz und keine Ahnung. Kann mir jemand vielleicht helfen, wie ich zeigen kann, dass diese Vektoren linear unabhängig sind?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:49 Di 03.07.2012 | | Autor: | fred97 |
> Danke für die Hilfe. =)
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> Jetzt würde ich gerne zu ii) kommen. Ich habe absolut
> keinen Ansatz und keine Ahnung. Kann mir jemand vielleicht
> helfen, wie ich zeigen kann, dass diese Vektoren linear
> unabhängig sind?
Mit [mm] t_0,t_1,..., t_{p-1} \in [/mm] K mache den Ansatz
(*) [mm] t_0v+t_1Av+...+t_{p-2}A^{p-2}+t_{p-1}A^{p-1}=0.
[/mm]
Zeigen mußt Du: [mm] t_0=t_1=...,=t_{p-1}=0.
[/mm]
Wende [mm] A^p [/mm] auf (*) an.
Edit: ich meinte [mm] A^{p-1}
[/mm]
Dann bekommst Du [mm] t_0=0
[/mm]
Dann wende [mm] A^{p-1} [/mm] auf (*) an, etc..
Edit : hier meinte ich [mm] A^{p-2}
[/mm]
FRED
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Danke für deine Hilfe, aber sorry ich stelle mich anscheinend total dumm an. Was meinst du mit "wende [mm] A^{p} [/mm] auf * an ? Ich verstehe nicht,was du damit meinst =(.
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> Danke für deine Hilfe, aber sorry ich stelle mich
> anscheinend total dumm an. Was meinst du mit "wende [mm]A^{p}[/mm]
> auf * an ? Ich verstehe nicht,was du damit meinst =(.
Hallo,
er meint, daß Du die Abbildung [mm] A^p [/mm] auf $ [mm] t_0v+t_1Av+...+t_{p-2}A^{p-2}+t_{p-1}A^{p-1}=0 [/mm] $ loslassen sollst:
$ [mm] t_0v+t_1Av+...+t_{p-2}A^{p-2}+t_{p-1}A^{p-1}=0 [/mm] $
==>
$ [mm] A^p(t_0v+t_1Av+...+t_{p-2}A^{p-2}+t_{p-1}A^{p-1})=A^p(0) [/mm] $
==> ...
Aber ich glaube, daß Fred in Wahrheit sagen wollte, daß Du zuerst die Abbildung [mm] A^{p-1} [/mm] auf die Gleichung anwenden sollst und dann so weitermachen, wie er sagt.
LG Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:53 Di 03.07.2012 | | Autor: | fred97 |
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> > Danke für deine Hilfe, aber sorry ich stelle mich
> > anscheinend total dumm an. Was meinst du mit "wende [mm]A^{p}[/mm]
> > auf * an ? Ich verstehe nicht,was du damit meinst =(.
>
> Hallo,
>
> er meint, daß Du die Abbildung [mm]A^p[/mm] auf
> [mm]t_0v+t_1Av+...+t_{p-2}A^{p-2}+t_{p-1}A^{p-1}=0[/mm] loslassen
> sollst:
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> [mm]t_0v+t_1Av+...+t_{p-2}A^{p-2}+t_{p-1}A^{p-1}=0[/mm]
>
> ==>
>
> [mm]A^p(t_0v+t_1Av+...+t_{p-2}A^{p-2}+t_{p-1}A^{p-1})=A^p(0)[/mm]
>
> ==> ...
>
> Aber ich glaube, daß Fred in Wahrheit sagen wollte, daß
> Du zuerst die Abbildung [mm]A^{p-1}[/mm] auf die Gleichung anwenden
> sollst und dann so weitermachen, wie er sagt.
Hallo Angela,
ja das wollte der Fred sagen. Hab mich verschrieben.
Danke und Grüße
FRED
>
> LG Angela
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Aber was bringt mir das, außer, dass mir das die Gleichung noch zusätzlich kompliziert macht? und wie komme ich nach Freds Aussage darauf, dass dann to = 0 ist? Das sehe ich absolut nicht =(
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> Aber was bringt mir das, außer, dass mir das die Gleichung
> noch zusätzlich kompliziert macht?
Hallo,
"bringen" tut es gar nichts, Du mußt schon hingehen und Dir die Informationen holen...
Dazu ist natürlich zu verwenden, was Du bisher gelernt hast.
Du solltest z.B. ein bißchen was übers Rechnen mit Matrizen wissen, z.B. was B(x+y) ist, daß die Matrizenmultiplikation assoziativ ist, was [mm] A^r*A^s [/mm] ist und solche Sachen. Was kommt denn auf der rechten Seite raus? Und natürlich muß man immer die Voraussetzung im Blick haben.
LG Angela
> und wie komme ich nach
> Freds Aussage darauf, dass dann to = 0 ist? Das sehe ich
> absolut nicht =(
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[mm] t_{0}A^{p}v+ t_{1}A^{p}Av [/mm] + ... + [mm] t_{p-2}A^{p}A^{p-2}=A^{p}A [/mm] 0
[mm] \gdw [/mm] 0 + [mm] t_{1}A^{p}Av [/mm] + ... + [mm] t_{p-2}A^{p}A^{p-2} [/mm] = 0
stimmt das so? kam deswegen fred auf [mm] t_{0} [/mm] = 0?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:04 Di 03.07.2012 | | Autor: | fred97 |
Dass ich mich verschrieben habe, hat Angela vermutet und ich habe das bestätigt. Nimm also nicht [mm] A^p, [/mm] sondern [mm] A^{p-1}
[/mm]
FRED
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stimmt,hatte ich ganz vergessen :
[mm] t_{0}A^{p-1}v+ t_{1}A^{p-1}Av [/mm] + ... + [mm] t_{p-2}A^{p-1}A^{p-2}+ t_{p-1}A^{p-1}A^{p-1} [/mm] = [mm] A^{p-1} [/mm] 0
[mm] t_{0}A^{p-1}v+ t_{1}A^{p-1}Av [/mm] + ... + [mm] t_{p-2}A^{p-1}A^{p-2}+ t_{p-1}A^{p-1}A^{p-1} [/mm] = 0
[mm] A^{p-1}v \not= [/mm] 0 -> [mm] t_{0} [/mm] = 0 ? wie gehts dann weiter?
entschuldigt, dass ich mich so dumm anstelle ...
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> stimmt,hatte ich ganz vergessen :
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> [mm]t_{0}A^{p-1}v+ t_{1}A^{p-1}Av[/mm] + ... + [mm]t_{p-2}A^{p-1}A^{p-2}+ t_{p-1}A^{p-1}A^{p-1}[/mm] = [mm]A^{p-1}[/mm] 0
>
> [mm]t_{0}A^{p-1}v+ t_{1}A^{p-1}Av[/mm] + ... + [mm]t_{p-2}A^{p-1}A^{p-2}+ t_{p-1}A^{p-1}A^{p-1}[/mm] = 0
[mm] \red{...}
[/mm]
[mm] \green{...}
[/mm]
>
> [mm]A^{p-1}v \not=[/mm] 0 -> [mm]t_{0}[/mm] = 0 ?
Hallo,
warum das Fragezeichen?
Ist Dir die Folgerung wirklich klar?
Weißt Du, was bei den roten Pünktchen steht?
Und bei den grünen?
> wie gehts dann weiter?
>
> entschuldigt, dass ich mich so dumm anstelle ...
Du machst's ja sicher nicht absichtlich...
Du hast jetzt herausgefunden:
$ [mm] t_0v+t_1Av+...+t_{p-2}A^{p-2}+t_{p-1}A^{p-1}=0$
[/mm]
==> [mm] t_0=0.
[/mm]
Also ist [mm] t_1Av+...+t_{p-2}A^{p-2}+t_{p-1}A^{p-1}=0.
[/mm]
Und damit machst Du jetzt das, was Fred gesagt hast - damit Du keinen Unfug treibst, wiederhole ich es nochmal: wende [mm] A^{p-2} [/mm] darauf an!
LG Angela
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ne ich habe die Folgerung schon verstanden, aber was die Pünktchen bedeuten, das weiß ich nicht
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> ne ich habe die Folgerung schon verstanden,
Hallo,
sicher?
Warum folgt das? Führe das mal genauer aus.
LG Angela
> aber was die
> Pünktchen bedeuten, das weiß ich nicht
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naja da na Voraussetzung [mm] A^{p}v \not= [/mm] 0 ist, muss [mm] t_{0} [/mm] = 0 sein, damit halt das ganze Ding im Endeffekt Null wird.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:38 Di 03.07.2012 | | Autor: | fred97 |
> naja da na Voraussetzung [mm]A^{p}v \not=[/mm] 0 ist, muss [mm]t_{0}[/mm] = 0
> sein, damit halt das ganze Ding im Endeffekt Null wird.
Richtig. Und wie ist das ohne Endeffekt ?
FRED
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ja, das ist jetzt die frage... ich soll mit [mm] A^{p-2} [/mm] weitermachen, aber das bringt doch gar nichts. dann habe ich ja:
[mm] t_{1} A^{p-2} [/mm] A v + ... + [mm] t_{p-2} A^{p-2} A^{p-2} [/mm] + [mm] t_{p-1} A^{p-2} A^{p-1} [/mm] = 0
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:54 Di 03.07.2012 | | Autor: | fred97 |
> ja, das ist jetzt die frage... ich soll mit [mm]A^{p-2}[/mm]
> weitermachen, aber das bringt doch gar nichts. dann habe
> ich ja:
>
> [mm]t_{1} A^{p-2}[/mm] A v + ... + [mm]t_{p-2} A^{p-2} A^{p-2}[/mm] + [mm]t_{p-1} A^{p-2} A^{p-1}[/mm]
> = 0
Natürlich bringt das was !
Es ist [mm] t_{1} A^{p-2} [/mm] A v= [mm] t_1A^{p-1}v
[/mm]
Die anderen Summanden in obiger Summe sind alle =0
Also ist [mm] t_1A^{p-1}v=0 [/mm] und somit [mm] t_1=0
[/mm]
FRED
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> naja da na Voraussetzung [mm]A^{p}v \not=[/mm] 0 ist,
Hä?
LG Angela
> muss [mm]t_{0}[/mm] = 0
> sein, damit halt das ganze Ding im Endeffekt Null wird.
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