Basis ergänzen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:21 Do 10.01.2008 | | Autor: | Sofie33 |
| Aufgabe | Sei [mm] V={f\inP(\IR) : deg f\le6} [/mm] der Vektorraum der reellen Polynomabbildungen . seien folgende Vektoren [mm] v1,....v5\inV [/mm] gegeben:
[mm] v1=x^2
[/mm]
[mm] v2=x^6+x^5
[/mm]
[mm] v3=x^2+2x
[/mm]
[mm] v4=3x^2+4x+5
[/mm]
[mm] v5=x^2-1
[/mm]
wählen sie eine maximal linear unabbhängige Teilmenge aus {v1,...,v5} aus und ergänzen diese zu einer Basis von V. |
Hallo
kann mir vielleicht einer erklären was ich da genau machen soll, oder an einer kleinem beispel zeigen?
Ich komme da gerad irgendwie nicht weiter.
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> Sei [mm]V={f\inP(\IR) : deg f\le6}[/mm] der Vektorraum der reellen
> Polynomabbildungen . seien folgende Vektoren [mm]v1,....v5\inV[/mm]
> gegeben:
> [mm]v1=x^2[/mm]
> [mm]v2=x^6+x^5[/mm]
> [mm]v3=x^2+2x[/mm]
> [mm]v4=3x^2+4x+5[/mm]
> [mm]v5=x^2-1[/mm]
> wählen sie eine maximal linear unabbhängige Teilmenge aus
> {v1,...,v5} aus und ergänzen diese zu einer Basis von V.
Hallo,
Du weißt hoffentlich, daß die reellen Polynome vom Höchstgrad 6 einen Vektorraum über [mm] \IR [/mm] bilden.
Die Dimension dieses Vektorraumes ist 7. (Kennst Du eine Basis?)
Dir sind nun 5 Vektoren aus diesem Vektorraum gegeben, welche Du auf lineare Unabhängigkeit prüfen sollst. (Wie lautet die Bedingung für lineare Unabhängigkeit?)
Anschließend sollst Du eine größtmögliche linear unabhängige Teilemnge herausfischen, das kannst Du z.B. machen, indem Du ausgehend v. [mm] v_1 [/mm] prüfst, ob [mm] v_1, v_2 [/mm] l. u.,
dann nimmst Du v-3 dazu, prüfst wieder, falls der nicht klappt, [mm] v_4 [/mm] usw.
Diese menge soll dann zu einer Basis des Gesamtraumes ergänzt werden.
Da Du keinerleic Lösungsansätze lieferst, weiß ich nicht, was Ihr hattet.
Es ist ja [mm] B:=(x^0,x^1,...,x^6) [/mm] eine Basis des Grundraumes, und ich würde mir die [mm] v_i [/mm] als Koordinatenvektoren bzgl. dieser Basis schreiben,
sie in eine Matrix stecken und das Programm mit Zeilenstufenform usw. starten, das ist jedenfalls der Weg, bei dem man am wenigsten schreiben und denken muß.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:59 Do 10.01.2008 | | Autor: | Sofie33 |
Also ich habe nun auf lineare unabhängigkeit geprüft. Nach meiner rechnung sind alle Vektoren v1,...,v4. linear unabh. da die einzige lösung die zum nullvektor führt [mm] \lambda1,........,\lambda4 [/mm] =0 ist.
Aber v1, v2,v3 und v5 sind auch lin unabh.
ok soweit so gut , nun soll ich diese Vektoren in eine Matrix schreiben. Ich habe leider nicht verstnaden wie ich dies nun zu einer basis von V ergänze.
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Hallo,
achte darauf, Fragen wirklich als Fragen einzustellen und nicht als Mitteilung - ich hätte Dich fast übersehen!
> Also ich habe nun auf lineare unabhängigkeit geprüft. Nach
> meiner rechnung sind alle Vektoren v1,...,v4. linear unabh.
> da die einzige lösung die zum nullvektor führt
> [mm]\lambda1,........,\lambda4[/mm] =0 ist.
[mm] \Ja, [/mm] das stimmt.
> Aber v1, v2,v3 und v5 sind auch lin unabh.
Ja.
> ok soweit so gut , nun soll ich diese Vektoren in eine
> Matrix schreiben. Ich habe leider nicht verstanden wie ich
> dies nun zu einer basis von V ergänze.
Vielleicht zeigst Du uns mal, wie die Matrix aussieht, dann konnte ich es besser erklären.
Ich erklär's mal an einem Beispiel:
Nehmen wir die Vektoren [mm] \vektor{1 \\ 2 \\3 \\4 }, \vektor{2 \\ 4 \\6 \\7 }, [/mm] und ich will sie zu einer Basis des [mm] \IR^4 [/mm] ergänzen.
in ZSF sieht das dann so aus:
[mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 1 }.
[/mm]
Nun gucke ich, wie ich diese Vektoren ergänzen muß, damit ich eine Matrix vollen Ranges erhalte:
ich kann z.B. [mm] \vektor{0 \\ 1 \\0 \\0 } [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 0 \\1 \\0 } [/mm] einfügen, und weiß dann:
Mit [mm] \vektor{0 \\ 1 \\0 \\0 } [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 0 \\1 \\0 } [/mm] ergänze ich [mm] \vektor{1 \\ 2 \\3 \\4 }, \vektor{2 \\ 4 \\6 \\7 } [/mm] zu einer Basis des [mm] \IR^4.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:52 Sa 12.01.2008 | | Autor: | Sofie33 |
Meine Matrix sieht demnach so aus:
[mm] \pmat{0&0&0&0&1&0&0\\1&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&2&0\\0&0&0&0&3&4&5\\0&0&0&0&1&0&-1}
[/mm]
diese dann noch weiter in ZSF:
[mm] \pmat{1&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&4&5\\0&0&0&0&0&0&-1\\0&0&0&0&0&0&0}
[/mm]
also ist der Rang =4
Könnte dann eine Vektor z.B.: [mm] v6=x^6+x^5-1 [/mm] sein?
dann wäre die neue letzte Zeile auch null und der Rang bliebe gleich!??
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Ja.
am besten, du nimmst irgendwelche vektoren, die nicht erzeugt werden von deinen fünfen da oben...
das machst du so lange, bis du einen 7-dimensionalen unterraum hast.
greez,
TS
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> Meine Matrix sieht demnach so aus:
>
> [mm]\pmat{0&0&0&0&1&0&0\\1&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&2&0\\0&0&0&0&3&4&5\\0&0&0&0&1&0&-1}[/mm]
>
> diese dann noch weiter in ZSF:
>
> [mm]\pmat{1&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&4&5\\0&0&0&0&0&0&-1\\0&0&0&0&0&0&0}[/mm]
>
> also ist der Rang =4
>
>
> Könnte dann eine Vektor z.B.: [mm]v6=x^6+x^5-1[/mm] sein?
> dann wäre die neue letzte Zeile auch null und der Rang
> bliebe gleich!??
Hallo,
das wäre doch nicht so geschickt: Du willst doch gerade so ergänzen, daß Du eine Matrix vom Rang 7 erhältst, mußt also in Deine ZSF 3 Zeilen einfügen, deren führendes Element in der 2. bzw. 3. bzw. 4. Spalte steht.
Grundsätzlich: Du hast so begonnen, daß Du die vorgegebenen Vektoren als Koordinatenvektoren bzgl. der kanonischen Basis in Zeilen gelegt hast - das ist nicht verkehrt.
Es ist bloß für diese Fragestellung sehr unpraktisch: wenn Du die Ausgangsmatrix auf ZSF gebracht hast, siehst Du zwar sehr leicht, wie Du zu einer Basis des Grundraumes ergänzen kannst, ebenfalls kannst Du sehr bequem eine Basis des von den vorgegebenen Vektoren aufgespannten Raumes ablesen. Gefragt ist hier jedoch eine max. unabhängige Teilmenge der vorgegebenen Vektoren, welche dann zu einer Basis des Grundraumes ergänzt werden soll. Hierfür ist es viel oraktischer, mit Spalten zu arbeiten, weil man dann aus der ZSF direkt ablesen kann, welche der hineingesteckten Vektoren eine max. linear unabhängige Teilmenge der hineingesteckten Vektoren bilden.
(Falls es Dich noch interessiert, und falls Dir nicht klar ist, wie das geht, kannst Du Dich hier nochmal mit der aus Spalten hervorgegengenen ZSF melden.)
Gruß v. Angela
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